Zbiór zadań

Znaleziono 385 zadań. Losuj z tych filtrów →

1. Upraszczamy pierwszy składnik, zapisując wszystko pod jednym pierwiastkiem:
   $$\sqrt{\frac{25}{8}}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{\frac{25}{\bcancel{8}}\cdot \bcancel{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}$$
2. Zamieniamy $2^{-1}=\frac{1}{2}$ i dodajemy:
   $$\frac{5}{2}+\frac{1}{2}=3$$

1. Z dzielenia z resztą zapisujemy $x=20y+26$.
   $$x=20y+26$$
2. Dzielimy obie strony przez $y$:
   $$\frac{x}{y}=\frac{20y+26}{y}=20+\frac{26}{y}$$

1. Łączymy pierwiastki sześcienne w liczniku i mianowniku (ten sam stopień pierwiastka) w jeden pierwiastek:
   $$\frac{\sqrt[3]{50}\cdot \sqrt[3]{-15}}{\sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[3]{3}}=\sqrt[3]{\frac{50\cdot (-15)}{2\cdot 3}}$$
2. Obliczamy wyrażenie pod pierwiastkiem:
   $$\frac{-750}{6}=-125$$
3. Obliczamy pierwiastek sześcienny:
   $$\sqrt[3]{-125}=-5$$

1. Obliczamy kapitał po dwóch latach kapitalizacji ze wzoru na procent składany:
   $$10000\cdot (1+6\%{)}^2=10000\cdot (1,06{)}^2=10000\cdot 1,1236=11236$$
2. Odsetki to różnica między kapitałem końcowym a wpłaconym:
   $$11236-10000=1236$$

1. Zapisujemy $9^4$ jako potęgę liczby $3$:
   $$9^4=(3^2{)}^4=3^8$$
2. Dzielimy potęgi o tej samej podstawie, odejmując wykładniki:
   $$\frac{3^8}{3^{-20}}=3^{8-(-20)}=3^{28}$$
3. Zapisujemy wynik jako potęgę liczby $9$:
   $$3^{28}=(3^2{)}^{14}=9^{14}$$

1. Zapisujemy $9$ i $27$ jako potęgi liczby $3$ czyli: $9=3^2$, $27=3^3$.
2. Podstawiamy i stosujemy prawa działań na potęgach:
   $$\frac{3^{10}\cdot (3^2{)}^{20}}{(3^3{)}^{15}}=\frac{3^{10}\cdot 3^{40}}{3^{45}}=\frac{3^{50}}{3^{45}}$$
3. Odejmujemy wykładniki:
   $$3^{50-45}=3^5$$

1. Zapisujemy liczbę pod logarytmem jako potęgę liczby $5$ o wykładniku wymiernym:
   $$\sqrt[3]{25}=25^{\frac{1}{3}}=(5^2{)}^{\frac{1}{3}}=5^{\frac{2}{3}}$$
2. Obliczamy logarytm, korzystając z definicji:
   $${\log }_5{5}^{\frac{2}{3}}=\frac{2}{3}$$

1. Zapisujemy składnik wewnątrz pierwszego pierwiastka jako potęgi o wykładnikach wymiernych:
   $$5\sqrt{5}=5^1\cdot 5^{\frac{1}{2}}=5^{\frac{3}{2}}$$
2. Teraz to samo z zewnętrznym pierwiastkiem:
   $$\sqrt{5^{\frac{3}{2}}}=(5^{\frac{3}{2}}{)}^{\frac{1}{2}}=5^{\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}}=5^{\frac{3}{4}}$$

1. Zapisujemy pierwiastek jako potęgę o wykładniku ułamkowym:
   $${\log }_8\sqrt[5]{2}={\log }_8{2}^{\frac{1}{5}}=\frac{1}{5}{\log }_{8}2$$
2. Ponieważ $8=2^3$, mamy ${\log }_{8}2=\frac{1}{3}$.
3. Obliczamy wynik:
   $$\frac{1}{5}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{15}$$

1. Stosujemy wzór na logarytm ilorazu:
   $${\log }_{8}4-{\log }_{8}32={\log }_8\frac{4}{32}={\log }_8\frac{1}{8}$$
2. Obliczamy logarytm:
   $${\log }_8\frac{1}{8}={\log }_8{8}^{-1}=-1$$

1. Wyłączamy $x$ przed nawias:
   $$x^3-2x^2+x=x(x^2-2x+1)$$
2. Zauważamy, że wyrażenie w nawiasie to kwadrat różnicy:
   $$x^2-2x+1=(x-1{)}^2$$
3. Zatem:
   $$x^3-2x^2+x=x(x-1{)}^2$$

1. Zapisujemy $4^{12}=(2^2{)}^{12}=2^{24}$, więc:
   $$4^{12}\cdot 5^{24}=2^{24}\cdot 5^{24}=(2\cdot 5{)}^{24}=10^{24}$$
2. Liczba $10^{24}=2^{24}\cdot 5^{24}$ jest podzielna przez $20=2^2\cdot 5$, bo wynik ich dzielenia jest liczbą całkowitą:
3. Liczba $10^{24}$ w zapisie dziesiętnym to cyfra $1$ i $24$ zera, czyli ma $25$ cyfr.