Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 73

2 pkt

Dwa okręgi o promieniach

r = 2

i

R = 6

są styczne zewnętrznie i są styczne do wspólnej prostej

k

. Wykaż, że prosta

l

przechodząca przez środki

S

i

P

tych okręgów przecina prostą

k

pod kątem

α = 30°

(zobacz rysunek).

sin α = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

, więc

α = 30°

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Wprowadzamy oznaczenia: $A$ i $B$ to punkty styczności okręgów z prostą $k$ , a $O$ to punkt przecięcia prostych $k$ i $l$ . Oznaczamy $∣ S O ∣ = x$ . Trójkąt $A S O$ jest podobny do trójkąta $B P O$ na podstawie cechy kąt-kąt-kąt (mają wspólny kąt przy wierzchołku $O$ oraz kąty proste przy wierzchołkach $A$ i $B$ ).

Zadanie 30 Prawdopodobieństwo

2 pkt

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

polegającego na tym, że co najmniej jeden raz wypadnie ścianka z pięcioma oczkami.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 30 Ciągi

2 pkt

Dany jest trzywyrazowy ciąg

(x + 2, 4 x + 2, x + 11)

. Oblicz te wszystkie wartości

x

, dla których ten ciąg jest geometryczny.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 30 Równania

2 pkt

Rozwiąż równanie

(x^{3} + 8) (x^{2} - 9) = 0

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 30 Prawdopodobieństwo

2 pkt

Ze zbioru liczb

{1, 2, 4, 5, 10}

losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

polegającego na tym, że iloraz pierwszej wylosowanej liczby przez drugą wylosowaną liczbę jest liczbą całkowitą.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 31 Prawdopodobieństwo

2 pkt

W pudełku jest 8 kul, z czego 5 białych i 3 czarne. Do tego pudełka dołożono

n

kul białych. Doświadczenie polega na losowaniu jednej kuli z tego pudełka. Prawdopodobieństwo, że będzie to kula biała, jest równe

\frac{11}{12}

. Oblicz

n

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 31 Trygonometria

2 pkt

Kąt

α

jest ostry i spełnia warunek

\frac{2 sin α + 3 cos α}{cos α} = 4

. Oblicz tangens kąta

α

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 31 Ciągi

2 pkt

Dany jest ciąg arytmetyczny

(a_{n})

, określony dla

n \geq 1

, w którym spełniona jest równość

a_{21} + a_{24} + a_{27} + a_{30} = 100

. Oblicz sumę

a_{25} + a_{26}

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 31 Trygonometria

2 pkt

Prosta

k

jest nachylona do osi

O x

pod kątem ostrym

α

, takim, że

cos α = \frac{3}{3}

. Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej

k

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 32 Geometria analityczna

4 pkt

Punkty

A = (1, - 1)

,

B = (6, 1)

,

C = (7, 5)

i

D = (2, 4)

są wierzchołkami czworokąta

A B C D

. Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych tego czworokąta.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 32 Planimetria

4 pkt

Dany jest trójkąt równoramienny

A B C

, w którym podstawa

A B

ma długość 12, a każde z ramion

A C

i

B C

ma długość równą 10. Punkt

D

jest środkiem ramienia

B C

(zobacz rysunek).

Oblicz sinus kąta

α

, jaki środkowa

A D

tworzy z ramieniem

A C

trójkąta

A B C

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 32 Funkcja kwadratowa

4 pkt

Funkcja kwadratowa

f

określona wzorem

f (x) = a x^{2} + b x + c

ma dwa miejsca zerowe:

x_{1} = - 2

i

x_{2} = 6

. Wykres funkcji

f

przechodzi przez punkt

A = (1, - 5)

. Oblicz najmniejszą wartość funkcji

f

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 32 Geometria analityczna

4 pkt

Dany jest kwadrat

A B C D

, w którym

A = (5, - \frac{5}{3})

. Przekątna

B D

tego kwadratu jest zawarta w prostej o równaniu

y = \frac{4}{3} x

. Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych

A C

i

B D

oraz pole kwadratu

A B C D

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 33 Geometria analityczna

4 pkt

Punkt

C = (0, 0)

jest wierzchołkiem trójkąta prostokątnego

A B C

, którego wierzchołek

A

leży na osi

O x

, a wierzchołek

B

na osi

O y

układu współrzędnych. Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta opuszczoną z wierzchołka

C

przecina przeciwprostokątną

A B

w punkcie

D = (3, 4)

.

Oblicz współrzędne wierzchołków

A

i

B

tego trójkąta oraz długość przeciwprostokątnej

A B

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 33 Geometria przestrzenna

4 pkt

Pole powierzchni bocznej stożka jest trzy razy większe od pola jego podstawy. Wysokość tego stożka jest równa

12

. Oblicz objętość tego stożka.

V = 72 π

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zbiór zadań

Wyniki