Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 95

5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których trójmian kwadratowy

4 x^{2} - 2 (m + 1) x + m

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste

x_{1}

oraz

x_{2}

, spełniające warunki:

x_{1} \neq = 0, x_{2} \neq = 0 oraz x_{1} + x_{2} \leq \frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}}

m \in (- \infty, - 1 ⟩ \cup (0, 1) \cup (1, 4 ⟩

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Trójmian $4 x^{2} - 2 (m + 1) x + m$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy jego wyróżnik $Δ$ jest dodatni. Rozwiązujemy warunek $Δ > 0$ .
$Δ = [- 2 (m + 1)]^{2} - 4 \cdot 4 \cdot m > 0 4 m^{2} - 8 m + 4 > 0 4 (m - 1)^{2} > 0 m \neq = 1$

Zadanie 11 Prawdopodobieństwo

4 pkt

W pewnym telewizyjnym programie bierze udział trzech sportowców i pewna liczba aktorów. W trakcie tego programu uczestnicy siadają na fotelach w rzędzie, naprzeciw prowadzącego (liczba foteli jest równa liczbie uczestników). Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że cała trójka sportowców będzie siedziała obok siebie przy losowym wyborze miejsc jest równe

\frac{1}{15}

. Oblicz, ilu aktorów bierze udział w tym programie.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 12 Funkcja kwadratowa

1 pkt

Informacja do zadań 11. i 12.
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej

f

. Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba

2

. Do wykresu funkcji

f

należy punkt

(0, 3)

. Prosta o równaniu

x = - 2

jest osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji

f

.

Wartość funkcji

f

dla argumentu

(- 4)

jest równa

Zadanie 12 Funkcja kwadratowa

1 pkt

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej

f

.

Jeden spośród podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór funkcji

f

.

Zadanie 12 Trygonometria

5 pkt

Rozwiąż równanie

cos 2 x = \frac{2}{2} (cos x - sin x)

w przedziale

⟨ 0, π ⟩

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 12 Planimetria

1 pkt

W trójkącie

A B C

narysowano dwie wysokości:

C D

i

A E

, jak na rysunku. Kąt rozwarty pomiędzy tymi wysokościami jest równy

138°

.

Jaką miarę ma kąt

α

zaznaczony na rysunku? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zadanie 12 Funkcja kwadratowa

1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

określona wzorem

f (x) = - 2 (x + 1) (x - 3)

jest malejąca w przedziale

Zadanie 12 Ciągi

5 pkt

Czterowyrazowy ciąg

(a, b, c, d)

jest rosnący i arytmetyczny. Kwadrat największego wyrazu tego ciągu jest równy podwojonej sumie kwadratów pozostałych wyrazów tego ciągu. Ponadto ciąg

(a + 100, b, c)

jest geometryczny. Oblicz wyrazy ciągu

(a, b, c, d)

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 12 Ciągi

1 pkt

Ciąg

(a_{n})

, określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

, jest arytmetyczny. Różnica tego ciągu jest równa

5

, a pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

(- 3)

. Wtedy iloraz

\frac{a _{4}}{a _{2}}

jest równy

Zadanie 12 Planimetria

1 pkt

W trójkącie stosunek miar kątów jest równy

2 : 3 : 7

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Trójkąt o podanych własnościach jest

Zadanie 12 Planimetria

1 pkt

Na krótszym boku prostokąta zbudowano trójkąt równoboczny o obwodzie

18

cm, a na dłuższym boku prostokąta zbudowano kwadrat o polu równym

64

cm

^{2}

.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pole prostokąta jest o $16$ cm $^{2}$ mniejsze od pola kwadratu powstałego na dłuższym boku prostokąta.
Obwód prostokąta jest o $10$ cm dłuższy od obwodu trójkąta równobocznego zbudowanego na krótszym boku prostokąta.

Zadanie 12 Równania

5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

(x - 3) (x^{2} + (m - 1) x - 6 m^{2} + 2 m) = 0

ma dokładnie dwa rozwiązania.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 13 Ciągi

1 pkt

Trzywyrazowy ciąg

(15, 3 x, \frac{5}{3})

jest geometryczny i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Stąd wynika, że

Zadanie 13 Planimetria

1 pkt

Prostokąt

A B C D

podzielono odcinkiem

E F

na dwa prostokąty. Odcinek

E F

ma długość

11

cm, a odcinek

E D

ma długość

2

cm. Pole prostokąta

E F C D

stanowi

\frac{2}{7}

pola prostokąta

A B C D

.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pole prostokąta $A B C D$ jest równe $77$ cm $^{2}$ .
Odcinek $A E$ ma długość $7$ cm.

Zadanie 13 Planimetria

1 pkt

Trójkąt

A B C

jest wpisany w okrąg o środku

O

. Miara kąta

C A O

jest równa

70°

(zobacz rysunek). Wtedy miara kąta

A B C

jest równa

Zbiór zadań

Wyniki