Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Ponieważ ciąg jest geometryczny, kwadrat środkowego wyrazu jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych:
   $$6^2=12\cdot (2m-1)$$
2. Rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& 36=24m-12\\ & 24m=48\\ & m=2\end{array}$$
3. Iloraz ciągu wynosi $q=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$. Ponieważ $0<q<1$, a wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie, ciąg jest malejący.

1. Z jedynki trygonometrycznej wyznaczamy sinus kąta $\alpha$ (kąt jest ostry, więc sinus jest dodatni):
   $${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-\frac{576}{625}=\frac{49}{625}$$
2. Zatem:
   $$\sin \alpha =\frac{7}{25}$$
3. Tangens obliczamy ze wzoru $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$:
   $$\tan \alpha =\frac{\frac{7}{25}}{\frac{24}{25}}=\frac{7}{24}$$

1. Wprowadzamy oznaczenie: niech $x$ oznacza liczbę elementów w jednym zestawie puzzli.
2. Ela ułożyła $\frac{2}{5}x$ elementów, a Ania $\frac{1}{3}x$ elementów. Razem ułożyły $440$ elementów, więc zapisujemy równanie:
   $$\frac{2}{5}x+\frac{1}{3}x=440$$
3. Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika $15$ i rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& \frac{6}{15}x+\frac{5}{15}x=440\\ & \frac{11}{15}x=440\\ & x=440\cdot \frac{15}{11}=600\end{array}$$
4. Jeden zestaw puzzli składa się z $600$ elementów.

1. Sprawdzamy, jakie wartości przyjmuje wyrażenie $(-1{)}^{n+1}$ w zależności od parzystości $n$. Dla $n$ nieparzystego wykładnik $n+1$ jest parzysty, więc $(-1{)}^{n+1}=1$, a dla $n$ parzystego wykładnik $n+1$ jest nieparzysty, więc $(-1{)}^{n+1}=-1$. Zatem:
   $$a_n=\{\begin{array}{ll}2\cdot 1+5=7& \text{gdy }n\text{ nieparzyste}\\ 2\cdot (-1)+5=3& \text{gdy }n\text{ parzyste}\end{array}$$
2. Wśród dziesięciu początkowych wyrazów jest pięć wyrazów nieparzystych (równych $7$) i pięć parzystych (równych $3$). Obliczamy sumę:
   $$S=5\cdot 7+5\cdot 3=35+15=50$$

1. Kolejne wyrazy ciągu to na przemian $7$ i $3$:
   $$a_1=7,a_2=3,a_3=7,a_4=3,\dots$$
2. Wyrazy nie są coraz mniejsze (rosną i maleją naprzemiennie), więc ciąg nie jest malejący — pierwsze stwierdzenie jest fałszywe (F).
3. Sprawdzamy, czy iloraz kolejnych wyrazów jest stały:
   $$\frac{a_2}{a_1}=\frac{3}{7}\ne \frac{7}{3}=\frac{a_3}{a_2}$$
4. Ilorazy są różne, więc ciąg nie jest geometryczny — drugie stwierdzenie jest fałszywe (F). Odpowiedź: FF.

1. Obliczamy różnicę ciągu arytmetycznego:
   $$r=a_2-a_1=13-7=6$$
2. Korzystamy ze wzoru na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
   $$a_{10}=a_1+9r=7+9\cdot 6=7+54=61$$

1. Kąt $CAB$ leży naprzeciwko przyprostokątnej $BC$, więc $\sin (CAB)=\frac{BC}{AB}$. Oznaczmy $AB=5k$, $BC=3k$ dla pewnego $k>0$.
2. Z warunku, że przeciwprostokątna jest o $8$ dłuższa od $BC$, otrzymujemy równanie:
   $$5k=3k+8$$
3. Rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& 2k=8\\ & k=4\end{array}$$
4. Zatem długość przeciwprostokątnej wynosi:
   $$AB=5k=5\cdot 4=20$$

1. Trójkąt $ABC$ jest prostokątny z kątem prostym przy wierzchołku $A$, więc bok $BC$ jest przeciwprostokątną. Sinus kąta $ABC$ to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta (czyli $AC$) do przeciwprostokątnej $BC$:
   $$\sin (\angle ABC)=\frac{|AC|}{|BC|}=\frac{\sqrt{15}}{8}$$

1. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $ABC$ obliczamy długość przyprostokątnej $AB$:
   $$|AB{|}^2=|BC{|}^2-|AC{|}^2=8^2-{\left(\sqrt{15}\right)}^2=64-15=49⟹|AB|=7$$
2. Punkt $D$ leży na odcinku $AB$, więc długość $AD$ obliczamy jako:
   $$|AD|=|AB|-|BD|=7-6=1$$
3. Kąt przy wierzchołku $A$ w trójkącie $ADC$ jest prosty (to ten sam kąt, co kąt $BAC$), więc tangens kąta ostrego $ADC$ to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw ($AC$) do przyprostokątnej przyległej ($AD$):
   $$\tan (\angle ADC)=\frac{|AC|}{|AD|}=\frac{\sqrt{15}}{1}=\sqrt{15}$$