Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Obliczamy pierwsze kilka wyrazów ciągu:
   $$a_1=3\cdot (-1)+10=7,a_2=3\cdot 1+10=13,a_3=3\cdot (-1)+10=7$$
2. Sprawdzamy iloraz między kolejnymi wyrazami:
   $$\frac{a_2}{a_1}=\frac{13}{7},\frac{a_3}{a_2}=\frac{7}{13}$$
3. Ilorazy są różne, więc ciąg NIE jest geometryczny — pierwsze stwierdzenie jest fałszywe (F).
4. Ciąg jest naprzemienny: dla $n$ nieparzystych $a_n=7$, dla $n$ parzystych $a_n=13$. Wśród ośmiu początkowych wyrazów są po cztery wyrazy każdego rodzaju, więc suma wynosi:
   $$4\cdot 7+4\cdot 13=28+52=80$$
5. Otrzymana suma jest równa $80$, więc drugie stwierdzenie jest prawdziwe (P).

1. Z wykresu odczytujemy, że ramiona paraboli są skierowane w dół, a miejsca zerowe funkcji (punkty przecięcia z osią $Ox$) to $x=-2$ oraz $x=4$.
2. Funkcja przyjmuje wartości nieujemne pomiędzy miejscami zerowymi (łącznie z nimi), zatem zbiorem rozwiązań nierówności $f(x)\ge 0$ jest przedział:
   $$x\in [-2,4]$$

1. Z wykresu odczytujemy współrzędne wierzchołka paraboli: $(1,9)$.
2. Wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej to $f(x)=a(x-p{)}^2+q$, gdzie $(p,q)$ są współrzędnymi wierzchołka. Ramiona paraboli są skierowane w dół, więc współczynnik $a$ jest ujemny. Postać kanoniczna funkcji to:
   $$f(x)=-(x-1{)}^2+9$$

1. Parabola jest symetryczna względem prostej przechodzącej przez jej wierzchołek, czyli prostej $x=1$.
2. Punkt $x=-4$ leży w odległości $5$ od osi symetrii ($1-(-4)=5$), więc jego lustrzane odbicie względem tej osi to $x=1+5=6$. Zatem:
   $$f(-4)=f(6)$$

1. Promień okręgu to połowa jego średnicy.
   $$r=\frac{20}{2}=10$$
2. Odcinki $SA$ i $SB$ są promieniami okręgu, więc $|SA|=|SB|=10$ cm. Obliczamy obwód trójkąta $ASB$.
   $$Obw=|SA|+|SB|+|AB|=10+10+12=32$$
3. Obwód trójkąta $ASB$ wynosi $32$ cm, a nie $36$ cm, więc pierwsze zdanie jest fałszywe (F).
4. Długość okręgu obliczamy ze wzoru na obwód koła.
   $$Ob{w}_{\mathcal{O}}=\pi \cdot d=\pi \cdot 20=20\pi$$
5. Długość okręgu $\mathcal{O}$ jest równa $20\pi$ cm, więc drugie zdanie jest prawdziwe (P). Odpowiedź: FP.

1. Obliczamy pierwszy i trzeci wyraz ciągu:
   $$a_1=(-1{)}^1\cdot (1-5)=4,a_3=(-1{)}^3\cdot (3-5)=2$$
2. Wyraz $a_1=4$ jest rzeczywiście dwa razy większy od wyrazu $a_3=2$, więc pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe (P).
3. Obliczamy drugi wyraz ciągu:
   $$a_2=(-1{)}^2\cdot (2-5)=-3$$
4. Ponieważ $a_2=-3<0$, nie wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie – drugie stwierdzenie jest fałszywe (F).
   Dodatkowo wyrażenie $(-1{)}^n$ jest zawsze ujemne dla nieparzystych $n$ i dodatnie dla parzystych, więc od pewnego momentu ten ciąg będzie zmieniał znak z plusa na minus co wyraz.

1. W ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych:
   $$2(4+2m)=5m+m$$
2. Rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& 8+4m=6m\\ & 8=2m\\ & m=4\end{array}$$

1. Ponieważ ciąg jest arytmetyczny, środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych:
   $$2\cdot 4=(2m-5)+9$$
2. Rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& 8=2m+4\\ & 2m=4\\ & m=2\end{array}$$
3. Podstawiamy $m=2$ do pierwszego wyrazu ciągu: $2m-5=-1$, więc ciąg to $(-1,4,9)$. Wyrazy rosną, więc ciąg jest rosnący.

1. Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma cztery przystające ściany boczne. Skoro jedna ściana boczna ma pole $\frac{2}{9}P$, to pole powierzchni bocznej (suma wszystkich czterech ścian) jest równe:
   $$4\cdot \frac{2}{9}P=\frac{8}{9}P$$
2. Pole powierzchni bocznej jest równe $\frac{8}{9}P$ (odpowiedź B).
3. Pole powierzchni całkowitej to suma pola podstawy i pola powierzchni bocznej, więc pole podstawy obliczamy jako różnicę:
   $$P-\frac{8}{9}P=\frac{1}{9}P$$
4. Porównujemy pole podstawy $\frac{1}{9}P$ z polem jednej ściany bocznej $\frac{2}{9}P$:
   $$\frac{1}{9}P=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{9}P$$
5. Pole podstawy jest więc dwa razy mniejsze niż pole jednej ściany bocznej (odpowiedź C).

1. Wprowadzamy oznaczenia:
   

   • $x$ - liczba klocków w kształcie sześcianu
   • $3x$ - liczba klocków w kształcie ostrosłupów trójkątnych

   Ostrosłup trójkątny ma $6$ krawędzi, a sześcian ma $12$ krawędzi. Zapisujemy równanie na łączną liczbę krawędzi wszystkich klocków i rozwiązujemy je:
   $$\begin{array}{rl}& 6\cdot 3x+12\cdot x=720\\ & 18x+12x=720\\ & 30x=720\\ & x=24\end{array}$$

1. Wzór $f(x)=-(x+1{)}^2+4$ ma postać kanoniczną $f(x)=a(x-p{)}^2+q$, więc wierzchołek paraboli ma współrzędne
   $$(p,q)=(-1,4)$$
2. Współczynnik przy $(x+1{)}^2$ jest równy $a=-1<0$, więc ramiona paraboli są skierowane w dół.
3. Wykres funkcji kwadratowej z wierzchołkiem w punkcie $(-1,4)$ i ramionami skierowanymi w dół przedstawiono na rysunku B.

1. Obliczamy wartość funkcji dla $x=0$, czyli punkt przecięcia wykresu z osią $Oy$:
   $$f(0)=-(0+1{)}^2+4=-1+4=3$$
2. Wykres przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,3)$, a nie $(0,4)$, więc pierwsze stwierdzenie jest fałszywe (F).
3. Wyznaczamy miejsca zerowe, rozwiązując równanie $f(x)=0$:
   $$\begin{array}{rl}& -(x+1{)}^2+4=0\\ & (x+1{)}^2=4\\ & x+1=-2\text{lub}x+1=2\\ & x=-3\text{lub}x=1\end{array}$$
4. Miejsca zerowe funkcji $f$ są równe $-3$ oraz $1$, więc drugie stwierdzenie jest prawdziwe (P). Odpowiedź: FP.

1. Obliczamy iloraz ciągu geometrycznego:
   $$q=\frac{a_3}{a_2}=\frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{6}}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$$
2. Piąty wyraz obliczamy, mnożąc $a_3$ dwukrotnie przez iloraz:
   $$a_5=a_3\cdot q^2=\frac{1}{9}\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{1}{9}\cdot \frac{4}{9}=\frac{4}{81}$$