Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 24

6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których funkcja kwadratowa

f

określona wzorem

f (x) = (2 m + 1) x^{2} + (m + 2) x + m - 3

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste

x_{1}

,

x_{2}

spełniające warunek

(x_{1} - x_{2})^{2} + 5 x_{1} x_{2} \geq 1

.

m \in (- \frac{4}{7}, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, 0 ⟩

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Funkcja ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, gdy jest kwadratowa ( $2 m + 1 \neq = 0$ ) i $Δ > 0$ . Najpierw liczymy $Δ$ .
$Δ = (m + 2)^{2} - 4 (2 m + 1) (m - 3) = m^{2} + 4 m + 4 - 8 m^{2} + 20 m + 12 = - 7 m^{2} + 24 m + 16$

Zadanie 9 Dowody geometryczne

3 pkt

Dany jest trójkąt równoramienny

A B C

, w którym

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣

. Na ramieniu

A C

tego trójkąta wybrano punkt

M

(

M \neq = A

i

M \neq = C

), a na ramieniu

B C

wybrano punkt

N

, w taki sposób, że

∣ A M ∣ = ∣ C N ∣

. Przez punkty

M

i

N

poprowadzono proste prostopadłe do podstawy

A B

tego trójkąta, które wyznaczają na niej punkty

S

i

T

. Udowodnij, że

∣ S T ∣ = \frac{1}{2} ∣ A B ∣

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 9 Dowody podzielności

3 pkt

Udowodnij, że dla każdej liczby nieparzystej

n

wyrażenie

n^{5} - 3 n^{4} - n + 19

jest podzielne przez

16

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 10 Prawdopodobieństwo

3 pkt

Ze zbioru

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

losujemy kolejno ze zwracaniem trzy liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie dwie spośród trzech wylosowanych liczb będą równe. Wynik zapisz w postaci ułamka nieskracalnego.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 10 Planimetria

4 pkt

Punkt

D

leży na boku

A B

trójkąta

A B C

oraz

∣ A C ∣ = 16

,

∣ A D ∣ = 6

,

∣ C D ∣ = 14

i

∣ B C ∣ = ∣ B D ∣

.
Oblicz obwód trójkąta

A B C

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 10 Planimetria

4 pkt

Miara kąta wewnętrznego

n

-kąta foremnego jest o

2°

mniejsza od miary kąta wewnętrznego

(n + 2)

-kąta foremnego. Oblicz

n

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 11 Geometria przestrzenna

6 pkt

Podstawą ostrosłupa

A B C D S

jest prostokąt

A B C D

, którego boki mają długości

∣ A B ∣ = 32

i

∣ B C ∣ = 18

. Ściany boczne

A B S

i

C D S

są trójkątami przystającymi i każda z nich jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem

α

. Ściany boczne

B C S

i

A D S

są trójkątami przystającymi i każda z nich jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem

β

. Miary kątów

α

i

β

spełniają warunek:

α + β = 9 0^{\circ}

. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 11 Geometria analityczna

6 pkt

Dane są okręgi o równaniach

x^{2} + y^{2} - 12 x - 8 y + 43 = 0

i

x^{2} + y^{2} - 2 a x + 4 y + a^{2} - 77 = 0

. Wyznacz wszystkie wartości parametru

a

, dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny. Rozważ wszystkie przypadki.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 11 Geometria przestrzenna

6 pkt

Podstawą ostrosłupa prawidłowego

A B C S

jest trójkąt równoboczny

A B C

o boku długości

6

. Na krawędziach bocznych

B S

i

C S

wybrano punkty, odpowiednio

D

i

E

, takie że

∣ B D ∣ = ∣ C E ∣

oraz

∣ D E ∣ = 4

(zobacz rysunek). Płaszczyzna

A D E

jest prostopadła do płaszczyzny ściany bocznej

B C S

ostrosłupa.

Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 12 Funkcja kwadratowa

6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

4 x^{2} + (2 - 4 m) x + m^{2} - m - 2 = 0

ma dwa różne dodatnie rozwiązania

x_{1}

,

x_{2}

spełniające nierówność

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \leq \frac{17}{4}

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 12 Ciągi

6 pkt

Trzywyrazowy ciąg

(a, b, c)

o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg

(\frac{1}{a}, \frac{2}{3 b}, \frac{1}{2 a + 2 b + c})

jest geometryczny. Oblicz iloraz ciągu geometrycznego.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 13 Nierówności

6 pkt

Wielomian określony wzorem

W (x) = 2 x^{3} + (m^{3} + 2) x^{2} - 11 x - 2 (2 m + 1)

jest podzielny przez dwumian

(x - 2)

oraz przy dzieleniu przez dwumian

(x + 1)

daje resztę

6

. Oblicz

m

i dla wyznaczonej wartości

m

rozwiąż nierówność

W (x) \leq 0

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 13 Geometria analityczna

6 pkt

Punkt

A = (- 2, 6)

jest wierzchołkiem rombu

A B C D

o polu

90

. Przekątna

B D

zawiera się w prostej

l

o równaniu

2 x - y - 5 = 0

. Wyznacz długość boku tego rombu.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 14 Trygonometria

4 pkt

Rozwiąż równanie

(cos x) [sin (x - \frac{π}{3}) + sin (x + \frac{π}{3})] = \frac{1}{2} sin x

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 14 Trygonometria

4 pkt

Rozwiąż równanie

4 sin 7 x cos 2 x = 2 sin 9 x - 1

w przedziale

⟨ 0, π ⟩

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zbiór zadań

Wyniki