Udowodnij, że dla każdej liczby nieparzystej… - Matura rozszerzona czerwiec 2019, zadanie 9, rozwiązanie

Zadanie 9, matura rozszerzona czerwiec 2019

3 pkt

Udowodnij, że dla każdej liczby nieparzystej

n

wyrażenie

n^{5} - 3 n^{4} - n + 19

jest podzielne przez

16

Poprawna odpowiedź

Wyrażenie jest równe

(n - 1) (n + 1) (n^{2} + 1) (n - 3) + 16

, a iloczyn czterech liczb parzystych jest podzielny przez

16

, więc całe wyrażenie jest podzielne przez

16

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Przekształcamy wyrażenie tak, aby wyłączyć wspólny czynnik $n - 3$ . W tym celu rozbijamy $19$ na $3 + 16$ .
$n^{5} - 3 n^{4} - n + 19 = n^{5} - 3 n^{4} - n + 3 + 16 = n^{4} (n - 3) - (n - 3) + 16 = (n^{4} - 1) (n - 3) + 16 = (n^{2} - 1) (n^{2} + 1) (n - 3) + 16 = (n - 1) (n + 1) (n^{2} + 1) (n - 3) + 16$

Dalsze kroki są w Premium

Premium odblokowuje pełne rozwiązania krok po kroku wszystkich zadań.

Zadanie 9, matura rozszerzona czerwiec 2019