Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 22

4 pkt

Dane jest równanie kwadratowe

x^{2} - (3 m + 2) x + 2 m^{2} + 7 m - 15 = 0

z niewiadomą

x

. Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których różne rozwiązania

x_{1}

i

x_{2}

tego równania istnieją i spełniają warunek

2 x_{1}^{2} + 5 x_{1} x_{2} + 2 x_{2}^{2} = 2

.

m = - \frac{9}{5}

lub

m = \frac{1}{4}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Równanie ma dwa różne rozwiązania, gdy wyróżnik trójmianu $x^{2} - (3 m + 2) x + 2 m^{2} + 7 m - 15$ jest dodatni. Obliczamy go.
$Δ = (- (3 m + 2))^{2} - 4 (2 m^{2} + 7 m - 15) = m^{2} - 16 m + 64 = (m - 8)^{2}$

Zadanie 12 Geometria analityczna

6 pkt

Punkt

A = (- 2, 6)

jest wierzchołkiem rombu

A B C D

o polu równym

82, 5

. Przekątna

B D

tego rombu zawiera się w prostej

l

o równaniu

2 x - y - 5 = 0

. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 12 Geometria przestrzenna

6 pkt

Podstawą ostrosłupa czworokątnego

A B C D S

jest trapez

A B C D

(A B ∥ C D)

. Ramiona tego trapezu mają długości

∣ A D ∣ = 10

i

∣ B C ∣ = 16

, a miara kąta

A B C

jest równa

30°

. Każda ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt

α

, taki, że

tg α = \frac{9}{2}

. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 12 Geometria analityczna

5 pkt

Prosta o równaniu

x + y - 10 = 0

przecina okrąg o równaniu

x^{2} + y^{2} - 8 x - 6 y + 8 = 0

w punktach

K

i

L

. Punkt

S

jest środkiem cięciwy

K L

. Wyznacz równanie obrazu tego okręgu w jednokładności o środku

S

i skali

k = - 3

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 13 Kombinatoryka

3 pkt

Oblicz, ile jest siedmiocyfrowych liczb naturalnych takich, że w zapisie dziesiętnym iloczyn wszystkich cyfr każdej z tych liczb jest równy

28

.

147

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 13 Kombinatoryka

4 pkt

Oblicz, ile jest wszystkich siedmiocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie trzy cyfry

1

i dokładnie dwie cyfry

2

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 14 Planimetria

6 pkt

Dany jest romb

A B C D

. Przez wierzchołki

B

i

D

poprowadzono dwie proste równoległe przecinające boki

C D

i

A B

– odpowiednio – w punktach

M

i

N

, tak, że podzieliły one ten romb na trzy figury

A N D

,

N B M D

,

B C M

o równych polach. Ponadto wiadomo, że

∣ M B ∣ = ∣ N D ∣ = ∣ B D ∣

(zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta ostrego tego rombu.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 14 Geometria przestrzenna

6 pkt

Podstawą ostrosłupa czworokątnego

A B C D S

jest trapez

A B C D

(

A B ∥ C D

). Ramiona tego trapezu mają długości

∣ A D ∣ = 10

i

∣ B C ∣ = 16

, a miara kąta

A B C

jest równa

30°

. Każda ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt

α

, taki, że

tg α = \frac{9}{2}

. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 15 Pochodne

7 pkt

Należy zaprojektować wymiary prostokątnego ekranu smartfona, tak aby odległości tego ekranu od krótszych brzegów smartfona były równe

0, 5

cm każda, a odległości tego ekranu od dłuższych brzegów smartfona były równe

0, 3

cm każda (zobacz rysunek – ekran zaznaczono kolorem czerwonym). Sam ekran ma mieć powierzchnię

60 cm^{2}

. Wyznacz takie wymiary ekranu smartfona, przy których powierzchnia ekranu wraz z obramowaniem jest najmniejsza.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 15 Geometria przestrzenna

7 pkt

Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej jest równa

d

. Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozpatrywanych ostrosłupów, który ma największą objętość. Oblicz tę największą objętość.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 1 Równania

1 pkt

Parametr

m

dobrano tak, że każda liczba rzeczywista jest rozwiązaniem równania

(4 - m^{2}) \cdot x = m^{2} - 3 m + 2

z niewiadomą

x

. Wynika stąd, że

Zadanie 1 Wartość bezwzględna

5 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{∣ x + 2∣}{x + 2} - x + 3∣ x - 1∣

, dla każdej liczby rzeczywistej

x \neq = - 2

. Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 1 Logarytmy

1 pkt

Dla dowolnych liczb

x > 0

,

x \neq = 1

,

y > 0

,

y \neq = 1

wartość wyrażenia

(lo g_{\frac{1}{x}} y) \cdot (lo g_{\frac{1}{y}} x)

jest równa

Zadanie 2 Geometria analityczna

1 pkt

Dane są trzy niewspółliniowe punkty:

A = (1, 1)

,

B = (6, 3)

,

C = (4, 5)

. Ile jest wszystkich punktów

D

takich, że czworokąt o wierzchołkach w punktach

A

,

B

,

C

,

D

jest równoległobokiem?

Zadanie 2 Trygonometria

1 pkt

Liczba

cos^{2} 105° - sin^{2} 105°

jest równa

Zbiór zadań

Wyniki