Zbiór zadań

Znaleziono 276 zadań. Losuj z tych filtrów

Zadanie 16DowodzenieMatura rozszerzona czerwiec 2026

3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

prawdziwa jest nierówność

x y + x + y \leq x^{2} + y^{2} + 1

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

0 \leq (x - y)^{2} + (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2}

Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium

Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.

Sprawdź plany Premium

Zadanie 17PlanimetriaMatura rozszerzona czerwiec 2026

3 pkt

Odcinek

C D

jest wysokością trójkąta równoramiennego

A B C

, w którym

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣

. Prosta

p

jest prostopadła do boku

B C

i przecina ten bok w punkcie

L

. Ta prosta przecina wysokość

C D

w punkcie

K

oraz przecina bok

A C

w punkcie różnym od

A

.

Wykaż, że

∣∠ C A K ∣ = ∣∠ K D L ∣

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zadanie 18GraniceMatura rozszerzona czerwiec 2026 (F. 2015)

2 pkt

Oblicz granicę

x \to 2 lim \frac{x ^{5} - 2 x ^{4} + x ^{2} - 3 x + 2}{x ^{3} - 2 x ^{2} + 3 x - 6}

W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą i trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zadanie 19NierównościMatura rozszerzona maj 2026

4 pkt

Rozwiąż nierówność

∣2 x - 6∣ - ∣ x^{2} - 9∣ < 0

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zadanie 20CiągiMatura rozszerzona maj 2026 (F. 2015)

2 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem rekurencyjnym

⎩ ⎨ ⎧ a_{1} = 2 a_{n + 1} = \frac{4}{a _{n}}

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.

Oblicz dziesiąty wyraz tego ciągu.
W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zadanie 21PrawdopodobieństwoMatura rozszerzona czerwiec 2026

4 pkt

Chleb sprzedawany w pewnym supermarkecie pochodzi z trzech piekarni:

P_{1}

P_{2}

P_{3}

. Stosunek liczby bochenków chleba dostarczonego przez piekarnie

P_{1}

P_{2}

oraz

P_{3}

do tego supermarketu jest – odpowiednio – równy

2 : 3 : 4

.

Liczba bochenków chleba razowego dostarczonego do tego supermarketu z piekarni:
–

P_{1}

stanowi

10%

liczby wszystkich bochenków chleba dostarczonego z tej piekarni,
–

P_{2}

stanowi

12%

liczby wszystkich bochenków chleba dostarczonego z tej piekarni,
–

P_{3}

stanowi

15%

liczby wszystkich bochenków chleba dostarczonego z tej piekarni.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że bochenek chleba losowo wybrany w tym supermarkecie pochodzi z piekarni

P_{1}

, jeśli wiadomo, że ten chleb jest razowy. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zadanie 22PrawdopodobieństwoMatura rozszerzona maj 2026 (F. 2015)

3 pkt

Ze zbioru ośmiu liczb

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

losujemy bez zwracania osiem razy po jednej liczbie. Wylosowane liczby ustawiamy w ciąg zgodnie z kolejnością losowania.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

polegającego na tym, że wylosowane liczby utworzą ciąg, w którym iloczyn każdych trzech kolejnych wyrazów będzie liczbą podzielną przez

3

. Wynik podaj w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zadanie 23CiągiMatura rozszerzona maj 2026

4 pkt

Dany jest ciąg arytmetyczny

(a_{n})

o skończonej liczbie wyrazów. Liczba wyrazów tego ciągu jest większa od

6

. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

1

, a ostatni wyraz tego ciągu jest równy

(- 2025)

. Drugi, trzeci i szósty wyraz tego ciągu tworzą – w podanej kolejności – ciąg geometryczny.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu

(a_{n})

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zadanie 24KombinatorykaMatura rozszerzona czerwiec 2026 (F. 2015)

3 pkt

Rozważamy wszystkie dziewięciocyfrowe kody, które spełniają jednocześnie następujące warunki:

• na pierwszym miejscu kodu znajduje się cyfra

2

• cyfra

4

występuje w kodzie dokładnie trzy razy
• cyfra

8

występuje dokładnie dwa razy
• pozostałe cyfry kodu są parami różnymi liczbami nieparzystymi.

Oblicz liczbę wszystkich takich kodów.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

33600

Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium

Zadanie 25DowodzenieMatura rozszerzona maj 2026 (F. 2015)

3 pkt

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej

x

i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej

y

prawdziwa jest nierówność

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \leq \frac{x}{y ^{2}} + \frac{y}{x ^{2}}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zadanie 26PochodneMatura rozszerzona czerwiec 2026 (F. 2015)

3 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{a x ^{2} + x}{x - 1}

dla każdej liczby rzeczywistej

x \neq = 1

.

Wyznacz wszystkie wartości

a

, dla których pochodna funkcji

f

w punkcie

x = a

jest równa

(- \frac{1}{2} a)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zadanie 27CiągiMatura rozszerzona czerwiec 2026

4 pkt

Nieskończony ciąg geometryczny

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

14

. Suma sześcianów wszystkich wyrazów ciągu

(a_{n})

jest równa

392

.

Wyznacz wzór ogólny na

n

-ty wyraz ciągu

(a_{n})

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zadanie 28TrygonometriaMatura rozszerzona maj 2026

4 pkt

Rozwiąż równanie

sin (6 x) - 2 sin (2 x) = 0

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x = \frac{π k}{2} \lor x = - \frac{5 π}{12} + π k \lor x = \frac{5 π}{12} + π k \lor x = - \frac{π}{12} + π k \lor x = \frac{π}{12} + π k

, gdzie

k \in Z

Zadanie 29CiągiMatura rozszerzona czerwiec 2026

4 pkt

Trzywyrazowy ciąg

(x, y, z)

jest geometryczny. Jeżeli w tym ciągu pomniejszymy trzeci wyraz o

4

, a pozostałe wyrazy pozostawimy bez zmian, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Jeżeli drugi i trzeci wyraz tak otrzymanego ciągu arytmetycznego pomniejszymy o

1

, to otrzymamy nowy ciąg geometryczny.

Oblicz

x, y

oraz

z

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zadanie 30PlanimetriaMatura rozszerzona maj 2026 (F. 2015)

3 pkt

Punkty

K

L

są środkami – odpowiednio – boków

A B

B C

kwadratu

A B C D

o boku długości

a

. Punkt

M

jest takim punktem na boku

B C

, że odcinki

D K

K M

są prostopadłe. Odcinek

A L

przecina odcinki

D K

oraz

D M

w punktach – odpowiednio –

P

oraz

Q

(zobacz rysunek).

Wykaż, że

∣ P Q ∣ = \frac{5}{5} a

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź