Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 16

4 pkt

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny

(a_{n})

, określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

, którego iloraz

q

jest równy pierwszemu wyrazowi i spełnia warunek

∣ q ∣ < 1

.
Stosunek sumy

S_{N}

wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych do sumy

S_{P}

wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równy różnicy tych sum, tj.

\frac{S _{N}}{S _{P}} = S_{N} - S_{P}

. Oblicz

q

.

q = \frac{1 - 5}{2}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Wyrazy o numerach nieparzystych i wyrazy o numerach parzystych tworzą ciągi geometryczne o ilorazie $q^{2}$ . Zapisujemy ich pierwsze wyrazy.
$a_{1} = q a_{2} = a_{1} \cdot q = q^{2}$

Zadanie 11 Trygonometria

4 pkt

Rozwiąż równanie

cos (3 x) + 3 sin (3 x) + 1 = 0

w przedziale

⟨ 0, π ⟩

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 11 Trygonometria

4 pkt

Rozwiąż równanie

sin x + sin 2 x + sin 3 x = 0

w przedziale

[0, π]

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 11 Trygonometria

5 pkt

Dany jest trapez

A B C D

o podstawach

A B

i

C D

, w którym

∣ A B ∣ > ∣ C D ∣

oraz ramię

B C

ma długość

6

. Na tym trapezie opisano okrąg o promieniu

R = 5

. Miary kątów

B A C

i

A B C

tego trapezu spełniają warunek

\frac{sin ∣∠ B A C ∣}{sin ∣∠ A B C ∣} = \frac{5}{8}

Oblicz pole i obwód trapezu

A B C D

.

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 11 Prawdopodobieństwo

4 pkt

Egzamin składa się z

15

zadań zamkniętych. Do każdego zadania podano cztery odpowiedzi, z których tylko jedna okazuje się poprawna. Zdający zalicza egzamin, jeśli udzieli poprawnych odpowiedzi w co najmniej

11

zadaniach. Pewien student przystąpił nieprzygotowany do egzaminu i w każdym zadaniu wybierał losowo odpowiedź. Przyjmij, że w każdym zadaniu wybór każdej z odpowiedzi przez studenta jest równo prawdopodobny.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że ten student zaliczył egzamin.

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 12 Geometria analityczna

6 pkt

Prosta

k

o równaniu

x + y - 9 = 0

przecina parabolę o równaniu

y = \frac{1}{4} x^{2} - \frac{3}{2} x + \frac{1}{4}

w punktach

A

oraz

B

. Pierwsza współrzędna punktu

A

jest liczbą dodatnią; pierwsza współrzędna punktu

B

jest liczbą ujemną. Prosta

l

jest równoległa do prostej

k

i styczna do danej paraboli w punkcie

C

.

Oblicz odległość punktu

C

od prostej

k

oraz pole trójkąta

A B C

.

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 12 Geometria przestrzenna

5 pkt

Podstawą graniastosłupa prostego

A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

jest trapez równoramienny

A B C D

wpisany w okrąg o środku

O

i promieniu

R

. Dłuższa podstawa

A B

trapezu jest średnicą tego okręgu, a krótsza – cięciwą odpowiadającą kątowi środkowemu o mierze

2 α

(zobacz rysunek). Przekątna ściany bocznej zawierającej ramię trapezu jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze

α

.

Wyznacz objętość tego graniastosłupa jako funkcję promienia

R

i miary kąta

α

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 12 Równania

5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} - (m + 1) x + m = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}

oraz

x_{2}

, spełniające warunki:

x_{1} \neq = 0, x_{2} \neq = 0 oraz \frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} + 2 = \frac{1}{x _{1}^{2}} + \frac{1}{x _{2}^{2}}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 13 Geometria przestrzenna

5 pkt

Dany jest graniastosłup prosty

A B C D E F G H

o podstawie prostokątnej

A B C D

. Przekątne

A H

i

A F

ścian bocznych tworzą kąt ostry o mierze

α

takiej, że

sin α = \frac{12}{13}

(zobacz rysunek). Pole trójkąta

A F H

jest równe

26, 4

.

Oblicz wysokość

h

tego graniastosłupa.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 13 Równania

6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

(x - 4) [x^{2} + (m - 3) x + m^{2} - m - 6] = 0

ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}

,

x_{2}

oraz

x_{3}

, spełniające warunek

x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} > x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} - 5 m - 51

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 14 Geometria analityczna

6 pkt

Punkt

A = (- 3, 2)

jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego

A B C

, w którym

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣

. Pole tego trójkąta jest równe

15

. Bok

B C

zawarty jest w prostej o równaniu

y = x - 1

. Oblicz współrzędne wierzchołków

B

i

C

tego trójkąta.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 14 Geometria analityczna

6 pkt

Dane są okrąg

o_{1}

o równaniu

(x - 6)^{2} + (y - 4)^{2} = 98

oraz okrąg

o_{2}

o promieniu

25

. Środki okręgów

o_{1}

i

o_{2}

leżą po różnych stronach prostej

k

o równaniu

y = - 3 x - 6

, a punkty wspólne obu okręgów leżą na prostej

k

. Wyznacz równanie okręgu

o_{2}

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 15.1 Dowody geometryczne

2 pkt

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym

18

. Wykaż, że pole

P

każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości

b

ramienia, wyraża się wzorem

P (b) = \frac{( 18 - 2 b ) \cdot 18 b - 81}{2}

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 15.1 Dowody geometryczne

2 pkt

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne ostrokątne

A B C

(

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣

), na których opisano okrąg o promieniu

R = 1

. Niech

x

oznacza odległość środka okręgu od podstawy

A B

trójkąta. Wykaż, że pole

P

każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości

x

, wyraża się wzorem

P (x) = (x + 1) \cdot 1 - x^{2}

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 15.2 Funkcje

1 pkt

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne ostrokątne

A B C

(

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣

), na których opisano okrąg o promieniu

R = 1

. Niech

x

oznacza odległość środka okręgu od podstawy

A B

trójkąta. Pole

P

każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości

x

, wyraża się wzorem

P (x) = (x + 1) \cdot 1 - x^{2}

. Wyznacz dziedzinę funkcji

P

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zbiór zadań

Wyniki