Zadanie 15.2 - Matura rozszerzona 2022 (czerwiec) - Rozwiązanie

1 pkt

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne ostrokątne

A B C

(

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣

), na których opisano okrąg o promieniu

R = 1

. Niech

x

oznacza odległość środka okręgu od podstawy

A B

trójkąta. Pole

P

każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości

x

, wyraża się wzorem

P (x) = (x + 1) \cdot 1 - x^{2}

. Wyznacz dziedzinę funkcji

P

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x \in (0, 1)

Zmienna $x$ oznacza odległość środka okręgu opisanego od podstawy trójkąta. Promień okręgu wynosi $1$ , więc ze wzoru $a = 2 1 - x^{2}$ (twierdzenie Pitagorasa) wynika warunek $1 - x^{2} > 0$ , czyli $x < 1$ . Trójkąt jest ostrokątny, więc środek $S$ okręgu leży wewnątrz trójkąta — po tej samej stronie podstawy $A B$ co wierzchołek $C$ — co daje $x > 0$ . Łącząc oba warunki, otrzymujemy dziedzinę funkcji $P$ .
$x \in (0, 1)$

Podobne zadania z działu funkcje