Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 58

4 pkt

Rozwiąż nierówność

x^{2} + 4 x + 4 < \frac{25}{3} - x^{2} - 6 x + 9

Zapisz obliczenia.

Wskazówka: skorzystaj z tego, że

a^{2} = ∣ a ∣

dla każdej liczby rzeczywistej

a

.

x \in (- \frac{11}{3}, \frac{14}{3})

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Wyrażenia pod pierwiastkami zwijamy ze wzoru skróconego mnożenia, korzystamy ze wskazówki i wstawiamy wyniki do nierówności.
$x^{2} + 4 x + 4 = (x + 2)^{2} = ∣ x + 2∣ x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2} = ∣ x - 3∣ ∣ x + 2∣ < \frac{25}{3} - ∣ x - 3∣$

Zadanie 9 Równania

3 pkt

Rozwiąż równanie

3 x^{3} - 2 x^{2} - 12 x + 8 = 0

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 10 Ciągi

4 pkt

Określamy kwadraty

K_{1}, K_{2}, K_{3}, \dots

następująco:
•

K_{1}

jest kwadratem o boku długości

a

•

K_{2}

jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu

K_{1}

i dzieli ten bok w stosunku

1 : 3

•

K_{3}

jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu

K_{2}

i dzieli ten bok w stosunku

1 : 3

i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej

n \geq 2

,
•

K_{n}

jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu

K_{n - 1}

i dzieli ten bok w stosunku

1 : 3

.

Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 10 Funkcja liniowa

1 pkt

Funkcja liniowa

f

jest określona wzorem

f (x) = - \frac{1}{6} x + \frac{2}{3}

.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba $4$ .
Punkt przecięcia wykresu funkcji $f$ z osią $O y$ ma współrzędne $(0, - \frac{1}{6})$ .

Zadanie 10 Prawdopodobieństwo

1 pkt

Spośród wszystkich liczb dwucyfrowych dodatnich losujemy jedną liczbę.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez

20

jest równe

Zadanie 10 Równania

1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie

\frac{( x ^{2} - 3 x ) ( x + 2 )}{x ^{2} - 4} = 0

w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

Zadanie 10Inne

1 pkt

Na planie miasta odległość w linii prostej od punktu oznaczającego przystanek autobusowy Dworzec do punktu oznaczającego przystanek autobusowy Galeria jest równa

8

cm. Plan miasta został wykonany w skali

1 : 4000

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odległość w linii prostej w terenie między tymi przystankami jest równa

Zadanie 10 Układy równań

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

, punkt

(- 8, 6)

jest punktem przecięcia prostych o równaniach

Zadanie 10 Układy równań

1 pkt

Na rysunku przedstawiono interpretację geometryczną w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

jednego z niżej zapisanych układów równań A–D.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest

Zadanie 10 Równania

5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

m x^{2} - (m + 1) x - 2 m + 3 = 0

ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}

oraz

x_{2}

, spełniające warunki:

x_{1} \neq = 0, x_{2} \neq = 0 oraz \frac{1}{x _{1}^{2}} + \frac{1}{x _{2}^{2}} < 1

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 11 Prawdopodobieństwo

4 pkt

W pudełku umieszczono

n

kul (

n \geq 3

) wśród których dokładnie

2

kule są czarne, a pozostałe kule są białe. Z tego pudełka losujemy jedną kulę i odkładamy ją na bok. Jeżeli wylosowana kula jest biała, to do pudełka wrzucamy kulę czarną, a gdy wylosowana kula jest czarna, to do pudełka wrzucamy kulę białą. Po przeprowadzonej w ten sposób zmianie zawartości prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z tego pudełka jest równe

\frac{37}{50}

.
Oblicz

n

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 11 Ciągi

5 pkt

Ciąg

(a, b, c)

jest trzywyrazowym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Ciąg

(2 a, 2 b, c + 1)

jest trzywyrazowym ciągiem arytmetycznym. Ponadto spełniony jest warunek

c - b = 6

.

Oblicz

a

,

b

oraz

c

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 11 Funkcja liniowa

1 pkt

Miejscem zerowym funkcji liniowej

f

jest liczba

1

. Wykres tej funkcji przechodzi przez punkt

(- 1, 4)

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wzór funkcji

f

ma postać

Zadanie 11 Prawdopodobieństwo

1 pkt

Z urny, w której jest wyłącznie

18

kul białych i

12

kul czarnych, losujemy

1

kulę.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe $\frac{3}{5}$ .
Prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej jest mniejsze od $\frac{1}{3}$ .

Zadanie 11Inne

1 pkt

Samochód przejechał ze stałą prędkością trasę o długości

18

kilometrów w czasie

12

minut.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Samochód przejechał tę trasę z prędkością

Zbiór zadań

Wyniki