Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Podstawą ostrosłupa jest kwadrat o boku $12$, a każda krawędź boczna też ma długość $12$ (ostrosłup jest prawidłowy, więc jego wierzchołek rzutuje się na środek podstawy).
2. Obliczamy przekątną podstawy i jej połowę (odległość środka podstawy od wierzchołka kwadratu):
   $$d=12\sqrt{2},\frac{d}{2}=6\sqrt{2}$$
3. Wysokość ostrosłupa $h$, połowa przekątnej i krawędź boczna tworzą trójkąt prostokątny. Z twierdzenia Pitagorasa:
   $$h^2+{\left(6\sqrt{2}\right)}^2=12^2$$
4. Obliczamy $h$:
   $$h^2=144-72=72⟹h=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$$

1. Prosta $l$ jest równoległa do $k$, więc ma taki sam współczynnik kierunkowy $a=-\frac{1}{3}$. Zapisujemy jej wzór jako $y=-\frac{1}{3}x+b$.
2. Podstawiamy współrzędne punktu $(2,-2)$:
   $$\begin{array}{rl}-2& =-\frac{1}{3}\cdot 2+b\\ -2& =-\frac{2}{3}+b\\ b& =-2+\frac{2}{3}\\ b& =-\frac{4}{3}\end{array}$$
3. Prosta przecina oś $Oy$ w punkcie:
   $$\left(0,-\frac{4}{3}\right)$$

1. Iloczyn jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero. Zapisuję dwa równania.
   $$\begin{array}{rl}& 27x^3+1=0\\ & x^2-4=0\end{array}$$
2. Rozwiązuję pierwsze równanie, korzystając z definicji pierwiastka trzeciego stopnia.
   $$\begin{array}{rl}& 27x^3=-1\\ & x^3=-\frac{1}{27}\\ & x=\sqrt[3]{-\frac{1}{27}}=-\frac{1}{3}\end{array}$$
3. Rozwiązuję drugie równanie.
   $$\begin{array}{rl}& x^2=4\\ & x=-2\text{ lub }x=2\end{array}$$
4. Łączę rozwiązania obu równań w zbiór rozwiązań równania wyjściowego.
   $$x=-2,x=-\frac{1}{3},x=2$$

1. Obliczamy pole powierzchni bocznej i pole podstawy stożka ($r=3$, $l=6$):
   $$P_b=\pi rl=\pi \cdot 3\cdot 6=18\pi ,P_p=\pi r^2=\pi \cdot 3^2=9\pi$$
2. Sprawdzamy pierwsze stwierdzenie: $18\pi$ jest dwa razy większe od $9\pi$, więc stwierdzenie jest prawdziwe (P).
3. Kąt rozwarcia stożka to kąt między tworzącymi w przekroju osiowym, czyli dwukrotność kąta między tworzącą a wysokością. Obliczamy sinus tego kąta:
   $$\sin \alpha =\frac{r}{l}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}⟹\alpha =30°$$
4. Kąt rozwarcia stożka jest więc równy $2\alpha =60°$ — drugie stwierdzenie też jest prawdziwe (P). Odpowiedź: PP.

1. Mnożę obie strony równania przez $(x-1)\cdot 3x$, aby pozbyć się mianowników.
   $$(3x+4)\cdot 3x=(x-1)(x+3)$$
2. Wykonuję mnożenia po obu stronach i porządkuję wyrazy.
   $$\begin{array}{rl}& 9x^2+12x=x^2+3x-x-3\\ & 9x^2+12x=x^2+2x-3\\ & 8x^2+10x+3=0\end{array}$$
3. Obliczam wyróżnik trójmianu kwadratowego $8x^2+10x+3$.
   $$\Delta =10^2-4\cdot 8\cdot 3=100-96=4$$
4. Obliczam pierwiastki równania.
   $$\begin{array}{rl}{x}_1& =\frac{-10-\sqrt{4}}{2\cdot 8}=-\frac{3}{4}\\ x_2& =\frac{-10+\sqrt{4}}{2\cdot 8}=-\frac{1}{2}\end{array}$$
5. Sprawdzam, że obie liczby spełniają założenia $x\ne 0$ i $x\ne 1$, więc są rozwiązaniami równania.

1. Przy podobieństwie w skali $k$ pola powierzchni skalują się jak $k^2$, a objętości jak $k^3$.
2. Pole powierzchni całkowitej walca ${\mathcal{C}}_2$:
   $$k^2\cdot 12\pi =2^2\cdot 12\pi =48\pi$$
3. Zgadza się to z pierwszym stwierdzeniem (P). Objętość walca ${\mathcal{C}}_2$:
   $$k^3\cdot 4\pi =2^3\cdot 4\pi =32\pi$$
4. Zgadza się to z drugim stwierdzeniem (P). Odpowiedź: PP.

1. Liczba czterocyfrowa ma postać $\overline{abcd}$, gdzie $a$ to cyfra tysięcy, a $d$ to cyfra jedności. Cyfra tysięcy nie może być $0$, a z warunku zadania $a=d$.
2. Ponieważ liczba ma być parzysta, cyfra jedności $d$ musi być parzysta. Skoro $a=d$ oraz $a\ne 0$, cyfra $a$ (a zarazem $d$) może być jedną z: $2,4,6,8$ — $4$ możliwości.
3. Cyfra setek $b$ i cyfra dziesiątek $c$ mogą być dowolne, od $0$ do $9$ — po $10$ możliwości każda.
4. Z reguły mnożenia liczba wszystkich takich liczb wynosi:
   $$4\cdot 10\cdot 10=400$$

1. Oznaczmy promień walca przez $r$ i wspólną wysokość przez $h$. Wtedy promień stożka to $2r$.
2. Objętość stożka:
   $$V_{sto\dot{z}ek}=\frac{1}{3}\pi (2r{)}^{2}h=\frac{4}{3}\pi r^{2}h$$
3. Objętość walca:
   $$V_{walec}=\pi r^{2}h$$
4. Stosunek objętości:
   $$\frac{V_{sto\dot{z}ek}}{V_{walec}}=\frac{\frac{4}{3}\pi r^{2}h}{\pi r^{2}h}=\frac{4}{3}$$

1. Niech $x$ oznacza liczbę biletów normalnych, a $y$ - liczbę biletów ulgowych sprzedanych na przedstawienie. Z treści zadania układamy dwa równania: łączną liczbę sprzedanych biletów oraz przychód organizatorów po odliczeniu $25\%$ kosztów.
   $$\{\begin{array}{l}x+y=200\\ 0,75\cdot (35x+25y)=4665\end{array}$$
2. Z pierwszego równania wyznaczamy $x=200-y$ i podstawiamy do drugiego równania, a następnie rozwiązujemy je względem $y$:
   $$\begin{array}{rl}& 0,75\cdot [35(200-y)+25y]=4665\\ & 35(200-y)+25y=6220\\ & 7000-35y+25y=6220\\ & -10y=-780\\ & y=78\end{array}$$
3. Zatem na przedstawienie sprzedano $78$ biletów ulgowych.