Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Mnożymy obie strony przez $4\cos \alpha$ (kąt ostry, więc $\cos \alpha \ne 0$) i porządkujemy:
   $$\begin{array}{rl}& 3\sin \alpha +4\cos \alpha =24\cos \alpha \\ & 3\sin \alpha =20\cos \alpha \end{array}$$
2. Dzielimy obie strony przez $3\cos \alpha$:
   $$\begin{array}{rl}& \frac{3\sin \alpha }{3\cos \alpha }=\frac{20\cos \alpha }{3\cos \alpha }\\ & \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{20}{3}\\ & \tan \alpha =\frac{20}{3}\end{array}$$

1. Oznaczmy promień podstawy walca przez $r$, a wysokość obu brył przez $h$. Promień podstawy stożka jest wtedy równy $2r$. Zapisujemy wzory na objętości obu brył.
   $$\begin{array}{rl}& V_{sto\dot{z}ka}=\frac{1}{3}\pi (2r{)}^{2}h=\frac{4}{3}\pi r^{2}h\\ & V_{walca}=\pi r^{2}h\end{array}$$
2. Obliczamy stosunek objętości stożka do objętości walca.
   $$\frac{V_{sto\dot{z}ka}}{V_{walca}}=\frac{\frac{4}{3}\pi r^{2}h}{\pi r^{2}h}=\frac{4}{3}$$

1. Bok kwadratu $AB$ obliczamy ze wzoru na odległość dwóch punktów:
   $$|AB|=\sqrt{(1-(-3){)}^2+(-3-1{)}^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$$
2. Obwód kwadratu to poczwórna długość boku:
   $$\text{Obw}=4\cdot 4\sqrt{2}=16\sqrt{2}$$

1. Zapisujemy równanie prostej $l$ w postaci kierunkowej $y=ax+b$, aby odczytać współczynnik kierunkowy:
   $$6x+y+7=0⟹y=-6x-7$$
2. Podobnie zapisujemy równanie prostej $k$:
   $$\begin{array}{rl}& (m-1)x+3y+5=0\\ & 3y=-(m-1)x-5\\ & y=-\frac{m-1}{3}x-\frac{5}{3}\end{array}$$
3. Proste są równoległe, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe:
   $$\begin{array}{rl}& -\frac{m-1}{3}=-6\\ & m-1=18\\ & m=19\end{array}$$

1. Oznaczmy liczbę uczniów drugiej szkoły przez $n$. W pierwszej szkole jest wtedy $3n$ uczniów. Sumę wieku uczniów w każdej szkole obliczamy jako iloczyn liczby uczniów i średniego wieku.
   $$\begin{array}{rl}& {\text{suma}}_1=3n\cdot 9=27n\\ & {\text{suma}}_2=n\cdot 13=13n\end{array}$$
2. Średnią ważoną wieku wszystkich uczniów obliczamy, dzieląc łączną sumę wieku przez łączną liczbę uczniów.
   $$\frac{27n+13n}{3n+n}=\frac{40n}{4n}=10$$

1. Środek okręgu to środek odcinka $AB$:
   $$S=\left(\frac{1+3}{2},\frac{1+(-1)}{2}\right)=(2,0)$$
2. Promień to połowa długości średnicy $AB$:
   $$|AB|=\sqrt{(3-1{)}^2+(-1-1{)}^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}⟹r=\sqrt{2}$$
3. Zapisujemy równanie okręgu o środku $(2,0)$ i promieniu $\sqrt{2}$ (czyli $r^2=2$):
   $$(x-2{)}^2+y^2=2$$

1. 
   
   Punkty $A$ i $C$ leżą na osi $Oy$, więc odcinek $AC$ jest pionowy i ma długość:
   $$|AC|=|2-(-3)|=5$$
2. Wysokość opuszczona z punktu $B$ na prostą $AC$ (czyli na oś $Oy$) jest równa pierwszej współrzędnej punktu $B$:
   $$h=2$$
3. Pole trójkąta:
   $$P=\frac{1}{2}\cdot |AC|\cdot h=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 2=5$$

1. 
   
   Obliczamy kwadraty długości boków trójkąta:
   $$|AB{|}^2=2^2+4^2=20,|BC{|}^2=2^2+1^2=5,|AC{|}^2=0^2+5^2=25$$
2. Ponieważ suma kwadratów dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi najdłuższego boku, z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa wynika, że kąt przy wierzchołku $B$ jest prosty:
   $$|AB{|}^2+|BC{|}^2=20+5=25=|AC{|}^2$$
3. Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży w środku przeciwprostokątnej. Liczymy środek odcinka $AC$:
   $$\left(\frac{0+0}{2},\frac{-3+2}{2}\right)=\left(0,-\frac{1}{2}\right)$$

1. Podstawą ostrosłupa jest kwadrat o boku $12$, a każda krawędź boczna też ma długość $12$ (ostrosłup jest prawidłowy, więc jego wierzchołek rzutuje się na środek podstawy).
2. Obliczamy przekątną podstawy i jej połowę (odległość środka podstawy od wierzchołka kwadratu):
   $$d=12\sqrt{2},\frac{d}{2}=6\sqrt{2}$$
3. Wysokość ostrosłupa $h$, połowa przekątnej i krawędź boczna tworzą trójkąt prostokątny. Z twierdzenia Pitagorasa:
   $$h^2+{\left(6\sqrt{2}\right)}^2=12^2$$
4. Obliczamy $h$:
   $$h^2=144-72=72⟹h=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$$

1. Oznaczmy długość krawędzi sześcianu przez $a$. Odcinki $AC$, $CH$ i $HA$ są przekątnymi ścian sześcianu, więc trójkąt $ACH$ jest równoboczny o boku:
   $$AC=CH=HA=a\sqrt{2}$$
2. Pole trójkąta równobocznego o boku $s$ wynosi $\frac{s^2\sqrt{3}}{4}$. Podstawiamy $s=a\sqrt{2}$ i porównujemy z wartością z treści zadania ($4\sqrt{3}$):
3. Upraszczamy i wyznaczamy $a$:
   $$\begin{array}{rl}& \frac{2a^2\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}\\ & \frac{a^2\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\\ & \frac{a^2}{2}=4\\ & a^2=8\\ & a=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\end{array}$$

1. Sprawdzamy odległość punktu $A$ od środka $S$:
   $$|SA{|}^2=(4-1{)}^2+(-7-(-3){)}^2=9+16=25=5^2$$
2. Ponieważ $|SA|=5=r$, punkt $A$ leży na okręgu (P).
3. Poprawne równanie okręgu to $(x-1{)}^2+(y+3{)}^2=25$ (promień podniesiony do kwadratu), a nie $=5$ (F).