Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Oznaczmy promień walca przez $r$ i wspólną wysokość przez $h$. Wtedy promień stożka to $2r$.
2. Objętość stożka:
   $$V_{sto\dot{z}ek}=\frac{1}{3}\pi (2r{)}^{2}h=\frac{4}{3}\pi r^{2}h$$
3. Objętość walca:
   $$V_{walec}=\pi r^{2}h$$
4. Stosunek objętości:
   $$\frac{V_{sto\dot{z}ek}}{V_{walec}}=\frac{\frac{4}{3}\pi r^{2}h}{\pi r^{2}h}=\frac{4}{3}$$

1. Niech $n$ oznacza liczbę uczniów drugiej szkoły. Wtedy w pierwszej szkole jest $3n$ uczniów.
2. Sumaryczny wiek uczniów pierwszej szkoły to $3n\cdot 9=27n$, a drugiej szkoły to $n\cdot 13=13n$.
3. Średni wiek wszystkich uczniów to suma wieków podzielona przez łączną liczbę uczniów:
   $$\frac{27n+13n}{3n+n}=\frac{40n}{4n}=10$$

1. Cyfra setek nie może być $0$ (liczba musi być trzycyfrowa), więc mamy $6$ możliwości ($1$–$6$).
2. Cyfra dziesiątek może być dowolną z $7$ dostępnych cyfr ($0$–$6$).
3. Cyfra jedności musi być nieparzysta, więc może być tylko $1$, $3$, $5$, więc $3$ możliwości.
4. Korzystając z reguły mnożenia wszystkich takich liczb jest:
   $$6\cdot 7\cdot 3$$

1. Zapisuję sumę wyrazów ciągu na podstawie treści zadania.
   $$7+a_2+a_3+a_4=54$$
2. Korzystam ze wzoru na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego $a_n=a_1+(n-1)r$ i zapisuję każdy wyraz za pomocą różnicy $r$.
   $$7+(7+r)+(7+2r)+(7+3r)=54$$
3. Redukuję wyrazy podobne i rozwiązuję otrzymane równanie z niewiadomą $r$.
   $$\begin{array}{rl}& 28+6r=54\\ & 6r=26\\ & r=\frac{13}{3}\end{array}$$
4. Obliczam drugi wyraz ciągu.
   $$a_2=7+r=7+\frac{13}{3}=\frac{34}{3}$$

1. Liczb naturalnych dwucyfrowych (od $10$ do $99$) jest:
   $$99-10+1=90$$
2. Wielokrotności liczby $34$ w tym zbiorze to $34$ i $68$ (kolejna, $102$, jest już trzycyfrowa), są więc $2$ takie liczby.
3. Prawdopodobieństwo zdarzenia $A$:
   $$P(A)=\frac{2}{90}$$

1. Odczytujemy z diagramu liczbę uczniów z każdą oceną:
   

   • ocenę $1$ - $2$ osoby
   • ocenę $2$ - $1$ osoba
   • ocenę $3$ - $6$ osób
   • ocenę $4$ - $5$ osób
   • ocenę $5$ - $7$ osób
   • ocenę $6$ - $5$ osób

   Sprawdzian pisało łącznie:
   $$2+1+6+5+7+5=26$$
2. Liczba uczniów jest parzysta, więc medianą jest średnia arytmetyczna $13.$ i $14.$ wyniku w uporządkowanym ciągu ocen. Szukamy jakie oceny są na $13$ i $14$ miejscu.

   • ocenę $1$ - $2$ osoby - suma $2$
   • ocenę $2$ - $1$ osoba - suma $3$
   • ocenę $3$ - $6$ osób - suma $9$
   • ocenę $4$ - $5$ osób - suma $14$ - miejsca $13$ i $14$ są tutaj
   • ocenę $5$ - $7$ osób
   • ocenę $6$ - $5$ osób
3. Obliczamy medianę:
   $$\text{M}=\frac{4+4}{2}=4$$

1. Sumujemy oceny pomnożone przez wagę odpowiedniej kategorii:
   $$2\cdot (4+4+3)+3\cdot (2+5)+4\cdot (5+4)=2\cdot 11+3\cdot 7+4\cdot 9=22+21+36=79$$
2. Sumujemy wagi wszystkich ocen (po $3$ oceny z wagą $2$, po $2$ oceny z wagą $3$ i po $2$ oceny z wagą $4$):
   $$3\cdot 2+2\cdot 3+2\cdot 4=6+6+8=20$$
3. Średnia ważona:
   $$\frac{79}{20}=3,95$$

1. Odczytujemy z diagramów liczby uczniów z poszczególnymi ocenami. W obu klasach jest po $20$ uczniów.
2. Obliczamy średnią klasy IV A:
   $$\frac{1\cdot 1+2\cdot 6+3\cdot 3+4\cdot 3+5\cdot 6+6\cdot 1}{20}=\frac{70}{20}=3,5$$
3. Obliczamy średnią klasy IV B:
   $$\frac{1\cdot 1+2\cdot 3+3\cdot 6+4\cdot 6+5\cdot 3+6\cdot 1}{20}=\frac{70}{20}=3,5$$
4. Średnie są równe, pierwsze zdanie jest prawdziwe.
5. W obu klasach $10.$ i $11.$ wyraz uporządkowanego ciągu ocen to odpowiednio $3$ i $4$, więc mediana w obu klasach wynosi $\frac{3+4}{2}=3,5$, drugie zdanie jest prawdziwe.