Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 132

2 pkt

W trapezie prostokątnym

A B C D

dłuższa podstawa

A B

ma długość

8

. Przekątna

A C

tego trapezu ma długość

4

i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze

30°

(zobacz rysunek). Oblicz długość przekątnej

B D

tego trapezu.

217

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Kąt $A C D$ ma $30°$ , więc trójkąt prostokątny $A C D$ jest połową trójkąta równobocznego. Wysokość trapezu $A D$ leży naprzeciw kąta $30°$ , więc jest równa połowie przekątnej $A C$ .
$A D = \frac{1}{2} \cdot A C = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$

Zadanie 31 Geometria analityczna

2 pkt

Przekątne rombu

A B C D

przecinają się w punkcie

S = (- \frac{21}{2}, - 1)

. Punkty

A

i

C

leżą na prostej o równaniu

y = \frac{1}{3} x + \frac{5}{2}

. Wyznacz równanie prostej

B D

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 31 Prawdopodobieństwo

2 pkt

Doświadczenie losowe polega na trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy sumę oczek równą

16

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 32 Ciągi

4 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{39}, a_{40})

suma wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa

1340

, a suma wyrazów ciągu o numerach nieparzystych jest równa

1400

. Wyznacz ostatni wyraz tego ciągu arytmetycznego.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 32 Ciągi

4 pkt

Ciąg arytmetyczny

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

. Różnicą tego ciągu jest liczba

r = - 4

, a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu:

a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}

, jest równa 16.
a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
b) Oblicz liczbę

k

, dla której

a_{k} = - 78

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 32 Geometria przestrzenna

5 pkt

Podstawą ostrosłupa

A B C D S

jest prostokąt o polu równym

432

, a stosunek długości boków tego prostokąta jest równy

3 : 4

. Przekątne podstawy

A B C D

przecinają się w punkcie

O

. Odcinek

S O

jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek). Kąt

S A O

ma miarę

6 0^{\circ}

. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 33 Planimetria

4 pkt

Środek okręgu leży w odległości

10

cm od cięciwy tego okręgu. Długość tej cięciwy jest o

22

cm większa od promienia tego okręgu. Oblicz promień tego okręgu.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 33 Funkcja kwadratowa

4 pkt

Liczby rzeczywiste

x

i

z

spełniają warunek

2 x + z = 1

. Wyznacz takie wartości

x

i

z

, dla których wyrażenie

x^{2} + z^{2} + 7 x z

przyjmuje największą wartość. Podaj tę największą wartość.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 33 Geometria analityczna

4 pkt

Dany jest punkt

A = (- 18, 10)

. Prosta o równaniu

y = 3 x

jest symetralną odcinka

A B

. Wyznacz współrzędne punktu

B

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 34 Geometria przestrzenna

5 pkt

Długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego

A B C D S

jest równa

12

(zobacz rysunek). Krawędź boczna tworzy z wysokością tego ostrosłupa kąt

α

taki, że

tg α = \frac{2}{5}

. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 34 Planimetria

4 pkt

Dany jest trójkąt rozwartokątny

A B C

, w którym

∢ A C B

ma miarę

120°

. Ponadto wiadomo, że

∣ B C ∣ = 10

i

∣ A B ∣ = 107

(zobacz rysunek). Oblicz długość trzeciego boku trójkąta

A B C

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 34 Geometria przestrzenna

5 pkt

Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa

6

. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt

α

jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta

α

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 34 Geometria przestrzenna

5 pkt

Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt

α

jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta

α

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 1Inne

1 pkt

Firma przesyłkowa Wielpak korzysta z paczkomatów do samodzielnego nadawania i odbierania przesyłek przez klientów. Maksymalne wymiary prostopadłościennej paczki, którą można nadać za pośrednictwem tej firmy, wynoszą

38

cm

\times

41

cm

\times

64

cm, a masa przesyłki nie może być większa niż

25

kg.

W tabeli zapisano wymiary i masę czterech paczek.

Nr paczki	Wymiary	Masa
$1$	$37$ cm $\times$ $41$ cm $\times$ $66$ cm	$23$ kg
$2$	$38$ cm $\times$ $38$ cm $\times$ $59$ cm	$25$ kg
$3$	$35$ cm $\times$ $40$ cm $\times$ $64$ cm	$26$ kg
$4$	$26$ cm $\times$ $39$ cm $\times$ $63$ cm	$22$ kg

Które z tych paczek mogą być nadane przez paczkomat tej firmy? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zadanie 1 Logarytmy

1 pkt

Niech

L = lo g_{2} 2 \cdot lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 4

. Wtedy

Zbiór zadań

Wyniki