Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 113

7 pkt

Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej jest równa

d

. Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozpatrywanych ostrosłupów, który ma największą objętość. Oblicz tę największą objętość.

a = \frac{2 2}{5} d

,

V = \frac{8 5}{375} d^{3}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Wprowadzamy oznaczenia:
- $r$ - promień okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa
- $b$ - długość krawędzi bocznej
- $a$ - długość krawędzi podstawy
- $H$ - wysokość ostrosłupa
Z warunku zadania $r + b = d$ , skąd wyznaczamy $b$ .
$b = d - r$

Zadanie 15 Ciągi

1 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{n})

, określonym dla

n \geq 1

, czwarty wyraz jest równy

3

, a różnica tego ciągu jest równa

5

. Suma

a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}

jest równa

Zadanie 15 Planimetria

1 pkt

Przyprostokątna

A C

trójkąta prostokątnego

A B C

ma długość

6

, a wysokość

C D

dzieli go na dwa takie trójkąty

A D C

i

C D B

, że pole trójkąta

A D C

jest

4

razy większe od pola trójkąta

C D B

(zobacz rysunek).

Przyprostokątna

B C

trójkąta prostokątnego

A B C

jest równa

Zadanie 15 Równania

1 pkt

Na rysunku przedstawiono czworokąt

A B C D

, który podzielono na dwa trójkąty. Długości boków otrzymanych trójkątów opisano za pomocą wyrażeń algebraicznych. Obwód trójkąta

A B C

jest równy

31

.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Odcinek $A C$ jest o $4$ jednostki dłuższy od odcinka $C D$ .
Obwód trójkąta $A C D$ jest równy $23$ .

Zadanie 15 Planimetria

1 pkt

W trójkącie

A B C

punkt

D

leży na boku

B C

, a punkt

E

leży na boku

A C

. Odcinek

D E

jest równoległy do boku

A B

, a ponadto

∣ A E ∣ = ∣ D E ∣ = 4

,

∣ A B ∣ = 6

(zobacz rysunek).

Odcinek

C E

ma długość

Zadanie 15 Pochodne

7 pkt

Należy zaprojektować wymiary prostokątnego ekranu smartfona, tak aby odległości tego ekranu od krótszych brzegów smartfona były równe

0, 5

cm każda, a odległości tego ekranu od dłuższych brzegów smartfona były równe

0, 3

cm każda (zobacz rysunek – ekran zaznaczono kolorem czerwonym). Sam ekran ma mieć powierzchnię

60 cm^{2}

. Wyznacz takie wymiary ekranu smartfona, przy których powierzchnia ekranu wraz z obramowaniem jest najmniejsza.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 16 Równania

2 pkt

W tabeli podano cenniki dwóch korporacji taksówkowych. Należność za przejazd składa się z jednorazowej opłaty początkowej i doliczonej do niej opłaty zależnej od długości przejechanej trasy.

CENNIKI KORPORACJI TAKSÓWKOWYCH
	Taxi „Jedynka”	Taxi „Dwójka”
Opłata początkowa	$3, 20$ zł	$8, 00$ zł
Cena za $1$ km trasy	$3, 20$ zł	$2, 40$ zł

Pan Jan korzystał z Taxi „Jedynka”, a pan Wojciech – z Taxi „Dwójka”. Obaj panowie pokonali trasę o tej samej długości i zapłacili tyle samo. Ile kilometrów miała trasa, którą przejechał każdy z nich? Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 16 Dowody geometryczne

2 pkt

Trzy proste przecinają się w punktach

A

,

B

i

C

tak, jak pokazano na rysunku. Odcinki

A C

i

B C

są równej długości. Wykaż, że miara kąta

α

stanowi połowę miary kąta

β

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 16 Planimetria

1 pkt

Dany jest trójkąt równoboczny, którego pole powierzchni jest równe

63

. Bok tego trójkąta ma długość

Zadanie 16 Dowody geometryczne

2 pkt

W trójkącie o kątach wewnętrznych

α

,

β

,

γ

miara kąta

α

jest równa różnicy miar dwóch pozostałych kątów. Uzasadnij, że ten trójkąt jest prostokątny.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 16 Trygonometria

1 pkt

W trapezie prostokątnym

A B C D

są dane długości boków:

∣ A B ∣ = 8

,

∣ B C ∣ = 5

,

∣ D C ∣ = 5

,

∣ A D ∣ = 4

(zobacz rysunek).

Tangens kąta ostrego

A B C

w tym trapezie jest równy

Zadanie 16 Funkcja liniowa

1 pkt

Punkty

P = (- 3, 4)

i

O = (0, 0)

leżą na jednej prostej. Kąt

α

jest kątem nachylenia tej prostej do osi

O x

(zobacz rysunek).

Wtedy tangens kąta

α

jest równy

Zadanie 16 Funkcja liniowa

1 pkt

Punkt

A = (\frac{1}{3}, - 1)

należy do wykresu funkcji liniowej

f

określonej wzorem

f (x) = 3 x + b

. Wynika stąd, że

Zadanie 17Inne

2 pkt

Zmieszano

40

dag rodzynek w cenie

12

zł za kilogram oraz

60

dag pestek dyni w cenie

17

zł za kilogram. Ile kosztuje

1

kilogram tej mieszanki? Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 17 Planimetria

2 pkt

Czworokąt

A B C D

jest trapezem. Podstawa

A B

została przedłużona do punktu

E

. Długości niektórych odcinków w tym czworokącie opisano na rysunku.

Pole trapezu

A B C D

jest trzy razy większe od pola trójkąta

B E C

. Oblicz długość odcinka

B E

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zbiór zadań

Wyniki