Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 89

2 pkt

Wykaż, że jeżeli

a

i

b

są liczbami rzeczywistymi dodatnimi, to

(a + b) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geq 4

.

(a - b)^{2} \geq 0

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Mnożymy nawiasy i sprowadzamy do wspólnego mianownika. Liczby $a$ i $b$ są dodatnie, więc mianownik $ab$ jest dodatni.
$(a + b) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geq 4 1 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 1 \geq 4 \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2 \frac{a ^{2} + b ^{2}}{ab} \geq 2$

Zadanie 30 Funkcje

2 pkt

Do wykresu funkcji wykładniczej, określonej dla każdej liczby rzeczywistej

x

wzorem

f (x) = a^{x}

(gdzie

a > 0

i

a \neq = 1

), należy punkt

P = (2, 9)

. Oblicz

a

i zapisz zbiór wartości funkcji

g

, określonej wzorem

g (x) = f (x) - 2

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 30 Ciągi

2 pkt

Dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego

(a_{n})

, określonego dla

n \geq 1

, jest równy

34

, a suma jego ośmiu początkowych wyrazów jest równa

110

. Oblicz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 30 Trygonometria

2 pkt

Kąt

α

jest ostry i

sin α + cos α = 2

. Oblicz wartość wyrażenia

tg α + \frac{1}{tg α}

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 30 Funkcje

2 pkt

Do wykresu funkcji wykładniczej, określonej dla każdej liczby rzeczywistej

x

wzorem

f (x) = a^{x}

(gdzie

a > 0

i

a \neq = 1

), należy punkt

P = (2, 9)

. Oblicz

a

i zapisz zbiór wartości funkcji

g

, określonej wzorem

g (x) = f (x) - 2

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 31 Geometria analityczna

2 pkt

Punkty

A = (2, 4)

,

B = (0, 0)

,

C = (4, - 2)

są wierzchołkami trójkąta

A B C

. Punkt

D

jest środkiem boku

A C

tego trójkąta. Wyznacz równanie prostej

B D

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 31 Ciągi

2 pkt

Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego

(a_{n})

, określonego dla

n \geq 1

, jest równy

30

, a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa

162

. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 31 Prawdopodobieństwo

2 pkt

Rzucamy cztery razy symetryczną monetą. Po przeprowadzonym doświadczeniu zapisujemy liczbę uzyskanych orłów (od

0

do

4

) i liczbę uzyskanych reszek (również od

0

do

4

). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w tych czterech rzutach liczba uzyskanych orłów będzie większa niż liczba uzyskanych reszek.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 32 Geometria analityczna

5 pkt

W układzie współrzędnych punkty

A = (4, 3)

i

B = (10, 5)

są wierzchołkami trójkąta

A B C

. Wierzchołek

C

leży na prostej o równaniu

y = 2 x + 3

. Oblicz współrzędne punktu

C

, dla którego kąt

A B C

jest prosty.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 32 Geometria przestrzenna

5 pkt

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości

H = 16

. Cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy

\frac{3}{5}

. Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 32 Geometria przestrzenna

5 pkt

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym

A B C S

krawędź podstawy ma długość

a

. Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest dwa razy większe od pola jego podstawy. Oblicz cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 33 Prawdopodobieństwo

4 pkt

Ze zbioru

A = {- 3, - 2, - 1, 1, 2, 3}

losujemy liczbę

a

, natomiast ze zbioru

B = {- 1, 0, 1, 2}

losujemy liczbę

b

. Te liczby są - odpowiednio - współczynnikiem kierunkowym i wyrazem wolnym funkcji liniowej

f (x) = a x + b

. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymana funkcja

f

jest rosnąca i ma dodatnie miejsce zerowe.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 33 Ciągi

4 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{n})

, określonym dla liczb naturalnych

n \geq 1

, wyraz szósty jest liczbą dwa razy większą od wyrazu piątego, a suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

S_{10} = \frac{15}{4}

. Oblicz wyraz pierwszy oraz różnicę tego ciągu.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 33 Prawdopodobieństwo

4 pkt

Dane są dwa zbiory:

A = {100, 200, 300, 400, 500, 600, 700}

i

B = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16}

. Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna przez

3

. Obliczone prawdopodobieństwo zapisz w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 34 Geometria przestrzenna

4 pkt

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe

453

. Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zbiór zadań

Wyniki