Zbiór zadań

Znaleziono 757 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Wierzchołek paraboli ma współrzędne $(5,-3)$, a ramiona paraboli są skierowane w górę (parabola ma najmniejszą wartość w wierzchołku), więc najmniejszą wartością funkcji $f$ jest $-3$, a funkcja przyjmuje wszystkie wartości od $-3$ wzwyż:
   $$[-3,+\infty )$$

1. Podstawiamy współrzędne punktu $A=(1,2)$ do wzoru funkcji, czyli obliczamy $f(1)$:
   $$f(1)=(m^2-3)\cdot 1^3-m^2+m+1=m^2-3-m^2+m+1=m-2$$
2. Ponieważ $f(1)=2$, otrzymujemy:
   $$m-2=2⟹m=4$$

1. Iloczyn czynników jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z nich jest równy zero. Wyznaczamy wszystkie rozwiązania:
   $$2x=0⟹x=0,x^2-9=0⟹x=-3\text{ lub }x=3,x+1=0⟹x=-1$$
2. Mnożymy wszystkie znalezione rozwiązania:
   $$0\cdot (-3)\cdot 3\cdot (-1)=0$$

1. Rozkładamy współczynnik przy $x$ w pierwszym czynniku:
   $$(3x-9)(x+k)=3(x-3)(x+k)$$
2. Miejscami zerowymi wyrażenia są $x=3$ oraz $x=-k$. Ponieważ współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, rozwiązaniem nierówności $<0$ jest przedział między pierwiastkami. Z treści wiemy, że tym przedziałem jest $(-2,3)$, więc drugim pierwiastkiem musi być $-2$:
   $$-k=-2$$
3. Stąd:
   $$k=2$$

1. Środkowy, rosnący fragment wykresu łączy punkty $(-4,-3)$ i $(3,4)$. Obliczamy współczynnik kierunkowy tej prostej:
   $$a=\frac{4-(-3)}{3-(-4)}=\frac{7}{7}=1$$
2. Wzór tego fragmentu to $f(x)=x+1$ dla $x\in [-4,3]$. Odczytujemy potrzebne wartości: dla $x=-3$ i $x=0$ korzystamy z tego wzoru, a dla $x=4$ funkcja jest już stała i równa $4$ (fragment poziomy od $x=3$ do $x=8$):
3. Obliczamy iloczyn:
   $$f(-3)\cdot f(0)\cdot f(4)=(-2)\cdot 1\cdot 4=-8$$

1. Funkcja nie ma miejsc zerowych, więc wyróżnik trójmianu jest ujemny:
   $$b^2-4ac<0$$
2. Wartość $f(0)=c$, a z treści wiemy, że $c<0$ — wykres funkcji w punkcie $x=0$ leży pod osią $Ox$. Skoro wykres nie przecina osi $Ox$ w żadnym punkcie (brak miejsc zerowych), cały wykres leży pod tą osią, więc parabola musi być skierowana ramionami w dół:
   $$a<0$$
3. Zatem prawidłowa jest odpowiedź B (wykres leży pod osią $Ox$) z uzasadnieniem 1. ($a<0$ i $b^2-4ac<0$).

1. Funkcja liniowa $f(x)=ax+b$ jest rosnąca, gdy współczynnik kierunkowy jest dodatni. Tutaj $a=2m-5$, więc:
   $$\begin{array}{rl}& 2m-5>0\\ & m>2,5\end{array}$$

1. Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni ($a=1$), więc parabola ma ramiona skierowane w górę i osiąga wartość najmniejszą w wierzchołku. Odcięta wierzchołka wyraża się wzorem $x_w=-\frac{b}{2a}$, a z treści wiemy, że $x_w=2$:
   $$-\frac{b}{2}=2⟹b=-4$$
2. Wartość najmniejsza to $f(2)=4$. Podstawiamy $b=-4$ i wyznaczamy $c$:
   $$\begin{array}{rl}& 2^2+(-4)\cdot 2+c=4\\ & 4-8+c=4\\ & c=8\end{array}$$

1. Odczytujemy z obu wykresów współrzędne charakterystycznych punktów (końce dziedziny i miejsca załamań):
   $$\begin{array}{rl}& f:(-4,1),(-2,-1),(0,2),(5,-3)\\ & g:(-6,1),(-4,-1),(-2,2),(3,-3)\end{array}$$
2. Każdy punkt wykresu $g$ powstaje z odpowiadającego punktu wykresu $f$ przez odjęcie $2$ od współrzędnej $x$, np. $(-4,1)\to (-6,1)$. Oznacza to przesunięcie wykresu $f$ o $2$ w lewo, czyli:
   $$g(x)=f(x+2)$$

1. Rozwiązujemy układ równań, porównując prawe strony:
   $$\begin{array}{rl}& x-1=-x+1\\ & 2x=2\\ & x=1\end{array}$$
2. Podstawiamy $x=1$ do pierwszego równania:
   $$y=1-1=0$$
3. Rozwiązaniem układu jest punkt $(1,0)$ — w tym punkcie przecinają się obie proste. Prosta $y=x-1$ rośnie i przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,-1)$, a prosta $y=-x+1$ maleje i przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,1)$. Taki układ prostych przedstawia rysunek A.

1. Miejsce zerowe wyznaczamy, przyrównując wzór funkcji do zera:
   $$-\frac{1}{3}(x+3)+5=0$$
2. Przekształcamy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& -\frac{1}{3}(x+3)=-5\\ & x+3=15\\ & x=12\end{array}$$

1. Grupujemy wyrazy wielomianu:
   $$x^3-2x^2-3x+6=x^2(x-2)-3(x-2)$$
2. Wyłączamy wspólny czynnik $(x-2)$ przed nawias:
   $$=(x-2)(x^2-3)$$

1. Funkcja jest zapisana w postaci iloczynowej, więc jej miejsca zerowe to $x=2$ i $x=-1$. Współczynnik przy $x^2$ jest ujemny ($a=-2$), więc ramiona paraboli są skierowane w dół.
2. Odcięta wierzchołka to średnia arytmetyczna miejsc zerowych:
   $$x_w=\frac{2+(-1)}{2}=\frac{1}{2}$$
3. Parabola o ramionach skierowanych w dół rośnie na lewo od wierzchołka, czyli w przedziale $(-\infty ,\frac{1}{2}⟩$.