Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Z wykresu odczytujemy, że prosta przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,-3)$, a oś $Ox$ w punkcie $(-2,0)$ — zgodnie z treścią zadania oba punkty mają współrzędne całkowite.
2. Wyraz wolny $b$ to wartość funkcji dla $x=0$, czyli rzędna punktu przecięcia z osią $Oy$:
   $$b=-3<0$$
3. Współczynnik kierunkowy $a$ obliczamy na podstawie punktów $(-2,0)$ i $(0,-3)$:
   $$a=\frac{-3-0}{0-(-2)}=-\frac{3}{2}<0$$
4. Zatem $a<0$ oraz $b<0$.

1. 
   Na przedziale $[-4,-2)$ funkcja rośnie, ale w punkcie $x=-2$ przyjmuje wartość z kolejnego wzoru $f(-2)=1$, czyli mniejszą niż wartości bliskie $3$ osiągane tuż przed $-2$. Funkcja nie jest więc rosnąca na całym przedziale $[-4,-2]$: pierwsze stwierdzenie jest fałszywe (F).
2. 
   Na przedziale $(1,3]$ funkcja maleje, a wartość w punkcie $x=1$ wynosi $f(1)=4$ i jest większa od kolejnych wartości (widać na rysunku powyżej), więc funkcja jest malejąca na całym przedziale $[1,3]$: drugie stwierdzenie jest prawdziwe (P).

1. 1. Z wykresu odczytujemy, że funkcja osiąga swoją największą wartość w punkcie $x=1$:
   $$f(1)=1+3=4$$
2. 2. Sprawdzamy, dla ilu argumentów zachodzi $f(x)=\sqrt{5}$, osobno na każdym z trzech kawałków. Pierwszy kawałek ($x\in [-4,-2)$):
   $$x+5=\sqrt{5}⟹x=\sqrt{5}-5\approx -2,76\in [-4,-2)$$
3. Drugi kawałek ($x\in [-2,1]$):
   $$x+3=\sqrt{5}⟹x=\sqrt{5}-3\approx -0,76\in [-2,1]$$
4. Trzeci kawałek ($x\in (1,3]$):
   $$-2x+5=\sqrt{5}⟹x=\frac{5-\sqrt{5}}{2}\approx 1,38\in (1,3]$$
5. Każdy z trzech kawałków daje jedno rozwiązanie należące do swojej dziedziny, więc równanie $f(x)=\sqrt{5}$ ma $3$ rozwiązania.

1. 1. Dziedziną funkcji $f$ jest suma przedziałów, na których jest ona określona:
   $$[-4,-2)\cup [-2,1]\cup (1,3]=[-4,3]$$
2. 2. Nierówność $f(x)<1$ odczytamy z wykresu. Prowadzimy poziomą prostą $y=1$ (zielona) i szukamy tych $x$, dla których wykres funkcji leży pod tą prostą.
3. Fragment wykresu leżący pod prostą (zaznaczony na zielono) rozciąga się od $x=2$ do końca dziedziny $x=3$.
4. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $f(x)<1$ jest zatem przedział $(2,3]$.

1. Z rysunku odczytujemy obwody kolejnych trapezów. Trapez złożony z $3$ trójkątów ma podstawę dolną $4$ cm, podstawę górną $2$ cm i dwa boki ukośne po $2$ cm, czyli obwód $10$ cm. Trapez złożony z $5$ trójkątów ma obwód $14$ cm, a złożony z $7$ trójkątów ma obwód $18$ cm:
   $$10,14,18,\dots$$
2. Zauważamy regularność: każdy kolejny trapez w tym ciągu ma o $2$ trójkąty więcej i obwód większy o $4$ cm od poprzedniego.
3. Obliczamy, o ile centymetrów trzeba zwiększyć obwód (z $10$ cm do $42$ cm) i ile to daje kroków po $4$ cm:
   $$42-10=32,32:4=8\text{ krokoˊw}$$
4. Każdy krok oznacza $2$ dodatkowe trójkąty, więc do wyjściowych $3$ trójkątów trzeba dołożyć:
   $$8\cdot 2=16\text{ troˊjkątoˊw}$$
5. Łączna liczba trójkątów w szukanym trapezie:
   $$3+16=19$$

1. Wprowadzamy układ współrzędnych, w którym schronisko $S$ leży w punkcie $(0,0)$. Wieża widokowa jest $4$ km na zachód i $3$ km na północ od $S$, więc $W=(-4,3)$. Muzeum jest $5$ km na wschód od $S$, więc $M=(5,0)$.
2. Odległość schroniska od muzeum (leżą na tej samej równoleżnikowej linii):
   $$|SM|=5$$
3. Odległość schroniska od wieży widokowej liczymy z twierdzenia Pitagorasa:
   $$|SW|=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$$
4. Obie odległości są równe $5$ km, więc pierwsze zdanie jest prawdziwe (P).
5. Odległość muzeum od wieży widokowej liczymy z różnic współrzędnych:
   $$|MW|=\sqrt{(5-(-4){)}^2+(0-3{)}^2}=\sqrt{9^2+3^2}=\sqrt{81+9}=\sqrt{90}\approx 9,49$$
6. To mniej niż $10$ km, więc drugie zdanie jest prawdziwe (P).

1. Kąt $\alpha$ to kąt nachylenia prostej do osi $Ox$. Tangens tego kąta jest równy współczynnikowi kierunkowemu $a$ we wzorze funkcji liniowej.
2. Współczynnik $a$ obliczamy na podstawie punktów przecięcia prostej z osiami, $(-2,0)$ i $(0,-3)$:
   $$a=\frac{-3-0}{0-(-2)}=-\frac{3}{2}$$
3. Zatem tangens kąta $\alpha$ jest równy:
   $$\tan \alpha =-\frac{3}{2}$$

1. Różnica $a_3-a_2$ to różnica ciągu arytmetycznego $r$, więc $r=-6$.
2. Piąty wyraz ciągu obliczamy ze wzoru $a_5=a_1+4r$:
   $$a_5=2+4\cdot (-6)=2-24=-22$$

1. Ponieważ przekątna $BD$ jest prostopadła do boku $AD$, trójkąt $ABD$ jest prostokątny, z przyprostokątnymi $AD=6$ i $BD=8$. Bok $AB$ jest przeciwprostokątną tego trójkąta – obliczamy jego długość z twierdzenia Pitagorasa:
   $$AB=\sqrt{A{D}^2+B{D}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$$
2. W równoległoboku boki przeciwległe mają równe długości, więc $BC=AD=6$ oraz $CD=AB=10$. Obliczamy obwód:
   $$Obw=2\cdot (AD+AB)=2\cdot (6+10)=32$$