Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Rozwiązujemy równanie $f(x)=3$ w pierwszym kawałku ($x\in [-4,2]$):
   $$x+2=3⟹x=1$$
2. Na rysunku widzimy, że w drugim kawałku fragment funkcji dla której wartość $y=3$ jest wykluczony, więc jedynym rozwiązaniem jest $x=1$.
3. W przedziale $[2,3]$ funkcja jest opisana wzorem $f(x)=x+2$ w punkcie $x=2$ i wzorem $f(x)=-x+5$ dla $x\in (2,3]$. Odczytujemy z wykresu, że największą wartość funkcja przyjmuje w $x=2$:

1. 1. Z wykresu odczytujemy, że najmniejsza wartość funkcji to $f(-4)=-2$, a największa to $f(2)=4$, więc zbiorem wartości jest przedział $[-2,4]$.
2. 2. Rozwiążmy nierówność $f(x)>1$ graficznie:
   
   
3. Z wykresu odczytujemy, że funkcja przyjmuje wartości większe od $1$ dla argumentów $x\in (-1,4)$.

1. Dziedziną funkcji $f$ jest suma przedziałów, na których jest ona określona:
   $$[-5,-2)\cup [-2,2]\cup (2,4)=[-5,4)$$
2. Szukamy argumentów, dla których $f(x)\ge 0$ w każdym kawałku. Pierwszy kawałek:
   $$\frac{4}{3}x+\frac{14}{3}\ge 0⟹x\ge -\frac{7}{2}$$
3. Po przecięciu z przedziałem $[-5,-2)$ otrzymujemy $\left[-\frac{7}{2},-2\right)$. Drugi kawałek:
   $$\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}\ge 0⟹x\ge -2$$
4. Po przecięciu z przedziałem $[-2,2]$ otrzymujemy cały ten przedział $[-2,2]$. Trzeci kawałek:
   $$-3x+9\ge 0⟹x\le 3$$
5. Po przecięciu z przedziałem $(2,4)$ otrzymujemy $(2,3]$. Łącząc wszystkie trzy części otrzymujemy przedział:
   $$\left[-\frac{7}{2},-2\right)\cup [-2,2]\cup (2,3]=\left[-\frac{7}{2},3\right]$$

1. W ciągu geometrycznym o pięciu wyrazach środkowy wyraz to $a_3=2$. Skrajne wyrazy z każdej strony środka są tak samo oddalone, więc ich iloczyny równają się kwadratowi środka: $a_1\cdot a_5=a_3^2$ oraz $a_2\cdot a_4=a_3^2$.
2. Cały iloczyn to więc piąta potęga środkowego wyrazu.
   $$a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot a_4\cdot a_5=a_3^5=2^5=32$$

1. Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta $ADE$, w którym podstawą jest odcinek $AD$, a wysokością odcinek poprowadzony z $E$:
   $$28=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot 7$$
2. Wyznaczamy długość $AD$:
   $$AD=\frac{2\cdot 28}{7}=8$$
3. Odcinek $AD$ jest jednocześnie bokiem kwadratu $ABCD$, więc pole kwadratu jest równe:
   $$A{D}^2=8^2=64$$

1. 
   Po usunięciu $AF$ i $AB$ znika lewy trójkąt, a zostaje tylko jedna (pozioma) oś symetrii – zdanie prawdziwe (P).
2. 
   Po usunięciu samego $FE$ obie strony wciąż są swoimi lustrzanymi odbiciami – pionowa oś symetrii zostaje, więc zdanie jest fałszywe (F).

1. Wielkości odwrotnie proporcjonalne spełniają warunek $x\cdot y=\text{stała}$. Obliczamy stałą na podstawie pierwszej pary:
   $$18\cdot 9=162$$
2. Wyznaczamy $a$ z drugiej pary:
   $$24\cdot a=162⟹a=\frac{162}{24}=6,75$$

1. Objętość pierwszego prostopadłościanu:
   $$V_1=5\cdot 6\cdot 10=300$$
2. Objętość drugiego prostopadłościanu:
   $$V_2=6\cdot 6\cdot 10=360$$
3. Różnica objętości:
   $$V_2-V_1=360-300=60$$
4. Zatem objętość pierwszego prostopadłościanu to $300$, a różnica objętości to $60$.

1. Piłeczka uderza w ziemię, gdy jej wysokość wynosi $0$. Rozwiązujemy równanie:
   $$-4,9t^2+14,7t=0$$
2. Wyłączamy $t$ przed nawias:
   $$t(-4,9t+14,7)=0$$
3. Stąd $t=0$ (chwila wyrzucenia) albo:
   $$\begin{array}{rl}& -4,9t+14,7=0\\ & t=\frac{14,7}{4,9}\\ & t=3\end{array}$$
4. Pierwsze uderzenie o ziemię (dla $t>0$) następuje więc w chwili $t=3$ s.

1. Wykres funkcji kwadratowej jest symetryczny względem prostej przechodzącej przez wierzchołek, czyli prostej $x=-3$.
2. Punkty $t$ i $-9$ dają tę samą wartość funkcji, więc są symetryczne względem $x=-3$. Odległość punktu $-9$ od osi symetrii wynosi:
   $$-3-(-9)=6$$
3. Punkt $t$ leży w tej samej odległości po drugiej stronie osi symetrii:
   $$t=-3+6=3$$