Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty $A=(1,2)$ i $B=(2m,m)$:
   $$a=\frac{m-2}{2m-1}$$
2. Współczynnik kierunkowy prostej $k$ to $a_k=-1$. Proste są równoległe, gdy współczynniki kierunkowe są równe:
   $$\frac{m-2}{2m-1}=-1$$
3. Rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& m-2=-(2m-1)\\ & m-2=-2m+1\\ & 3m=3\\ & m=1\end{array}$$

1. Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę:
   $$3x^2-8x-3\ge 0$$
2. Obliczamy wyróżnik trójmianu $3x^2-8x-3$:
   $$\Delta =(-8{)}^2-4\cdot 3\cdot (-3)=64+36=100$$
3. Wyznaczamy pierwiastki trójmianu:
   $$x_1=\frac{8-10}{6}=-\frac{1}{3},x_2=\frac{8+10}{6}=3$$
4. Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane w górę. Nierówność $3x^2-8x-3\ge 0$ jest spełniona poza przedziałem między pierwiastkami, łącznie z ich końcami:
   
   

1. Korzystamy ze wzoru na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego i obliczamy różnicę $r$:
   $$\begin{array}{rl}& a_4=a_1+3r\\ & 8=-1+3r\\ & r=3\end{array}$$
2. Korzystamy ze wzoru na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i obliczamy $S_{100}$:
   $$S_{100}=\frac{2a_1+(100-1)r}{2}\cdot 100=\frac{-2+297}{2}\cdot 100=14750$$

1. W ciągu arytmetycznym różnica między trzecim a drugim wyrazem jest równa różnicy między drugim a pierwszym wyrazem:
   $$r=y-(y-4)=4$$
2. Ciąg możemy więc zapisać w postaci $(x,x+4,x+8)$. Korzystamy z warunku, że suma wszystkich wyrazów jest równa $6$:
   $$\begin{array}{rl}& x+(x+4)+(x+8)=6\\ & 3x+12=6\\ & 3x=-6\\ & x=-2\end{array}$$
3. Obliczamy pozostałe wyrazy ciągu:
   $$x+4=2,x+8=6$$

1. Podstawą ostrosłupa jest kwadrat $ABCD$ o boku $9$, a jego wysokością jest krawędź sześcianu (punkt $W$ leży dokładnie nad środkiem podstawy, na wysokości górnej ściany sześcianu), więc $h=9$. Obliczamy pole podstawy:
   $$P=9^2=81$$
2. Obliczamy objętość ostrosłupa:
   $$V=\frac{1}{3}\cdot P\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 81\cdot 9=243$$

1. Objętość sześcianu o krawędzi $a$ jest równa $V=a^3$. Sześcian $\mathcal{G}$ ma krawędź $3a$, więc jego objętość:
   $$V_{\mathcal{G}}=(3a{)}^3=27a^3=27V$$

1. Równanie ma sens liczbowy, gdy mianownik jest różny od zera, czyli dla $x\ne -2$. Mnożymy obie strony równania przez $(x+2)$:
   $$4=(x-1)(x+2)$$
2. Wymnażamy nawiasy po prawej stronie i przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę:
   $$\begin{array}{rl}& 4=x^2+x-2\\ & x^2+x-6=0\end{array}$$
3. Obliczamy wyróżnik trójmianu $x^2+x-6$:
   $$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot (-6)=1+24=25$$
4. Wyznaczamy pierwiastki trójmianu:
   $$x_1=\frac{-1-5}{2}=-3,x_2=\frac{-1+5}{2}=2$$
5. Oba otrzymane rozwiązania są różne od $-2$, więc spełniają założenie i są rozwiązaniami danego równania.
   $$x=-3\text{lub}x=2$$

1. Stosunek losów wygrywających do przegrywających wynosi $2:7$, więc wszystkich części jest:
   $$2+7=9$$
2. Prawdopodobieństwo, że zakupiony los jest wygrywający:
   $$P=\frac{2}{9}$$

1. Korzystamy z definicji tangensa: skoro $\text{tg}\alpha =2$, to $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=2$, czyli $\sin \alpha =2\cos \alpha$.
2. Podstawiamy ten związek do jedynki trygonometrycznej ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$:
   $$(2\cos \alpha {)}^2+{\cos }^2\alpha =1$$
3. Upraszczamy i wyznaczamy ${\cos }^2\alpha$:
   $$\begin{array}{rl}& 5{\cos }^2\alpha =1\\ & {\cos }^2\alpha =\frac{1}{5}\end{array}$$
4. Ponownie korzystamy z jedynki trygonometrycznej, aby obliczyć ${\sin }^2\alpha$:
   $$\begin{array}{rl}& {\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\\ & {\sin }^2\alpha +\frac{1}{5}=1\\ & {\sin }^2\alpha =\frac{4}{5}\end{array}$$