Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Obliczamy długość boku kwadratu, czyli odległość punktów $A$ i $B$:
   $$|AB|=\sqrt{(4-(-4){)}^2+(0-4{)}^2}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$$
2. Przekątna kwadratu jest $\sqrt{2}$ razy dłuższa od boku:
   $$d=4\sqrt{5}\cdot \sqrt{2}=4\sqrt{10}$$

1. Oznaczmy $\alpha =\angle BAC$. Z jedynki trygonometrycznej obliczamy $\sin \alpha$:
   $$\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\sqrt{1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}$$
2. Pole trójkąta obliczamy ze wzoru $P=\frac{1}{2}\cdot |AB|\cdot |AC|\cdot \sin \alpha$:
   $$P=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4\cdot \frac{3}{5}=\frac{18}{5}$$

1. Obliczamy pole podstawy, czyli pole rombu o przekątnych $7$ cm i $10$ cm:
   $$P=\frac{7\cdot 10}{2}=35{\text{cm}}^2$$
2. Wysokość graniastosłupa jest krótsza od dłuższej przekątnej rombu (czyli $10$ cm) o $2$ cm:
   $$h=10-2=8\text{cm}$$
3. Obliczamy objętość graniastosłupa:
   $$V=P\cdot h=35\cdot 8=280{\text{cm}}^3$$

1. Graniastosłup prawidłowy o podstawie $n$-kąta ma $n$ krawędzi podstawy dolnej, $n$ krawędzi podstawy górnej i $n$ krawędzi bocznych, czyli $3n$ krawędzi łącznie. Ma też $n$ ścian bocznych oraz $2$ podstawy, czyli $n+2$ ścian.
2. Zapisujemy równanie wynikające z podanego stosunku i rozwiązujemy je:
   $$\begin{array}{rl}& \frac{3n}{n+2}=\frac{7}{3}\\ & 9n=7(n+2)\\ & 9n=7n+14\\ & 2n=14\\ & n=7\end{array}$$
3. Podstawą graniastosłupa jest zatem siedmiokąt.

1. Pole sześciokąta foremnego o boku $a$ wyraża się wzorem $P=\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2$. Wyznaczamy długość boku:
   $$\begin{array}{rl}& \frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2=6\sqrt{3}\\ & a^2=4\\ & a=2\end{array}$$
2. Kąt wewnętrzny sześciokąta foremnego ma miarę $120°$. W trójkącie $AFE$ mamy $|AF|=|FE|=a$ oraz $\angle AFE=120°$, więc z twierdzenia cosinusów obliczamy $|AE|$:
   $$\begin{array}{rl}& A{E}^2=a^2+a^2-2a^2\cos 120^{\circ }\\ & A{E}^2=2a^2-2a^2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=3a^2\\ & AE=a\sqrt{3}\end{array}$$
3. Trójkąt $AFE$ jest równoramienny ($|AF|=|FE|$), więc kąty przy podstawie są równe: $\angle FAE=\angle FEA=\frac{180^{\circ }-120^{\circ }}{2}=30^{\circ }$. Kąt wewnętrzny sześciokąta przy wierzchołku $A$ wynosi $120°$, więc kąt między $AE$ i $AB$ jest równy $\angle EAB=120^{\circ }-30^{\circ }=90^{\circ }$ - odcinek $AE$ jest prostopadły do boku $AB$.
4. Trójkąt $ABE$ jest zatem prostokątny, z przyprostokątnymi $AB=a=2$ i $AE=a\sqrt{3}=2\sqrt{3}$. Jego pole jest równe:

1. Pole sześciokąta foremnego o boku $a$ wyraża się wzorem $P=\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2$. Wyznaczamy długość boku:
   $$\begin{array}{rl}& \frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2=6\sqrt{3}\\ & a^2=4\\ & a=2\end{array}$$
2. Kąt wewnętrzny sześciokąta foremnego ma miarę $120°$. W trójkącie $AFE$ mamy $|AF|=|FE|=a$ oraz $\angle AFE=120°$, więc z twierdzenia cosinusów obliczamy $|AE|$:
   $$\begin{array}{rl}& A{E}^2=a^2+a^2-2a^2\cos 120^{\circ }\\ & A{E}^2=2a^2-2a^2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=3a^2\\ & AE=a\sqrt{3}=2\sqrt{3}\end{array}$$

1. Ze średniej arytmetycznej wyznaczamy sumę liczb $a,b,c,d$:
   $$\begin{array}{rl}& \frac{a+b+c+d}{4}=20\\ & a+b+c+d=80\end{array}$$
2. Zmieniają się tylko dwa pierwsze składniki, a ich suma zwiększa się o $-10+30=20$, więc nowa suma i nowa średnia arytmetyczna wynoszą:
   $$\frac{(a-10)+(b+30)+c+d}{4}=\frac{(a+b+c+d)+20}{4}=\frac{80+20}{4}=\frac{100}{4}=25$$

1. Ponieważ $AB\parallel CD$, trójkąty $ABO$ i $CDO$ są podobne (kąty naprzemianległe przy przekątnych, cecha kkk).
2. Skala podobieństwa jest równa stosunkowi obwodów tych trójkątów:
   $$k=\frac{Ob{w}_{ABO}}{Ob{w}_{CDO}}=\frac{39}{13}=3$$
3. Wysokości trójkątów $ABO$ i $CDO$ poprowadzone z punktu $O$ pozostają w tej samej skali $3:1$ i w sumie dają wysokość trapezu równą $12$. Oznaczmy wysokość trójkąta $CDO$ przez $h$ - wysokość trójkąta $ABO$ jest wtedy równa $3h$:
4. Wysokość trójkąta $ABO$ poprowadzona z punktu $O$ jest równa:
   $$3h=3\cdot 3=9$$

1. Liczba ma być trzycyfrowa, większa od $300$ i mieć wszystkie cyfry parzyste. Cyfra setek musi więc jednocześnie być parzysta i dawać liczbę większą od $300$, czyli należeć do zbioru $\{4,6,8\}$ — to $3$ możliwości.
2. Cyfra dziesiątek może być dowolną cyfrą parzystą: $\{0,2,4,6,8\}$ — $5$ możliwości. Tyle samo możliwości ma cyfra jedności.
3. Liczba wszystkich takich liczb to iloczyn liczby możliwości dla każdej cyfry:
   $$3\cdot 5\cdot 5$$

1. Podstawiamy $x=0$ do równania okręgu:
   $$(0-3{)}^2+(y-3{)}^2=13$$
2. Upraszczamy:
   $$\begin{array}{rl}& 9+(y-3{)}^2=13\\ & (y-3{)}^2=4\end{array}$$
3. Pierwiastkujemy obustronnie:
   $$y-3=2\text{lub}y-3=-2$$
4. Stąd:
   $$y=5\text{lub}y=1$$
5. Okrąg przecina oś $Oy$ w punktach $(0,1)$ i $(0,5)$.

1. Liczba czterocyfrowa nieparzysta i podzielna przez $5$ musi kończyć się cyfrą, która jest jednocześnie nieparzysta i sprawia, że liczba dzieli się przez $5$: jedyna taka cyfra to $5$. Na miejscu jedności mamy więc $1$ możliwość.
2. Na miejscu tysięcy nie może stać $0$ (liczba ma być czterocyfrowa), więc mamy $9$ możliwości ($1$–$9$).
3. Na miejscu setek i na miejscu dziesiątek może stać dowolna cyfra od $0$ do $9$, czyli po $10$ możliwości na każdym z tych miejsc.
4. Z reguły mnożenia liczba wszystkich takich liczb jest równa:
   $$9\cdot 10\cdot 10\cdot 1$$

1. Wynik pierwszego rzutu nie wpływa na wynik drugiego rzutu, więc wystarczy rozważyć sam drugi rzut. Liczby oczek podzielne przez $3$ na kostce to $3$ i $6$ — $2$ z $6$ możliwych wyników:
   $$p=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$

1. Zapisujemy równanie na średnią arytmetyczną:
   $$\frac{2x+4+6+8+11+13}{6}=5$$
2. Upraszczamy i rozwiązujemy:
   $$\begin{array}{rl}& 2x+42=30\\ & 2x=-12\\ & x=-6\end{array}$$