Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Rozwiązujemy układ równań, porównując prawe strony:
   $$\begin{array}{rl}& x-1=-x+1\\ & 2x=2\\ & x=1\end{array}$$
2. Podstawiamy $x=1$ do pierwszego równania:
   $$y=1-1=0$$
3. Rozwiązaniem układu jest punkt $(1,0)$ — w tym punkcie przecinają się obie proste. Prosta $y=x-1$ rośnie i przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,-1)$, a prosta $y=-x+1$ maleje i przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,1)$. Taki układ prostych przedstawia rysunek A.

1. Odczytujemy z obu wykresów współrzędne charakterystycznych punktów (końce dziedziny i miejsca załamań):
   $$\begin{array}{rl}& f:(-4,1),(-2,-1),(0,2),(5,-3)\\ & g:(-6,1),(-4,-1),(-2,2),(3,-3)\end{array}$$
2. Każdy punkt wykresu $g$ powstaje z odpowiadającego punktu wykresu $f$ przez odjęcie $2$ od współrzędnej $x$, np. $(-4,1)\to (-6,1)$. Oznacza to przesunięcie wykresu $f$ o $2$ w lewo, czyli:
   $$g(x)=f(x+2)$$

1. Funkcja jest zapisana w postaci iloczynowej, więc jej miejsca zerowe to $x=2$ i $x=-1$. Współczynnik przy $x^2$ jest ujemny ($a=-2$), więc ramiona paraboli są skierowane w dół.
2. Odcięta wierzchołka to średnia arytmetyczna miejsc zerowych:
   $$x_w=\frac{2+(-1)}{2}=\frac{1}{2}$$
3. Parabola o ramionach skierowanych w dół rośnie na lewo od wierzchołka, czyli w przedziale $(-\infty ,\frac{1}{2}⟩$.

1. Grupujemy wyrazy wielomianu:
   $$x^3-2x^2-3x+6=x^2(x-2)-3(x-2)$$
2. Wyłączamy wspólny czynnik $(x-2)$ przed nawias:
   $$=(x-2)(x^2-3)$$

1. Miejsce zerowe wyznaczamy, przyrównując wzór funkcji do zera:
   $$-\frac{1}{3}(x+3)+5=0$$
2. Przekształcamy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& -\frac{1}{3}(x+3)=-5\\ & x+3=15\\ & x=12\end{array}$$

1. Postać kanoniczna funkcji kwadratowej to $f(x)=a(x-p{)}^2+q$, gdzie $(p,q)$ to współrzędne wierzchołka, a współczynnik $a$ jest taki sam jak w postaci ogólnej.
2. Podstawiamy $a=3$ oraz $p=-3$, $q=2$ (bo $W=(-3,2)$):
   $$f(x)=3(x-(-3){)}^2+2=3(x+3{)}^2+2$$

1. Dziedziną funkcji $f$ jest przedział $⟨-2,5)$. Wzór $g(x)=f(x-1)$ oznacza przesunięcie wykresu $f$ o $1$ w prawo, więc argument $x-1$ musi należeć do dziedziny $f$:
   $$\begin{array}{rl}& x-1\in ⟨-2,5)\\ & x\in ⟨-1,6)\end{array}$$