Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Iloczyn czynników jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z nich jest równy zero. Wyznaczamy wszystkie rozwiązania:
   $$2x=0⟹x=0,x^2-9=0⟹x=-3\text{ lub }x=3,x+1=0⟹x=-1$$
2. Mnożymy wszystkie znalezione rozwiązania:
   $$0\cdot (-3)\cdot 3\cdot (-1)=0$$

1. Rozkładamy współczynnik przy $x$ w pierwszym czynniku:
   $$(3x-9)(x+k)=3(x-3)(x+k)$$
2. Miejscami zerowymi wyrażenia są $x=3$ oraz $x=-k$. Ponieważ współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, rozwiązaniem nierówności $<0$ jest przedział między pierwiastkami. Z treści wiemy, że tym przedziałem jest $(-2,3)$, więc drugim pierwiastkiem musi być $-2$:
   $$-k=-2$$
3. Stąd:
   $$k=2$$

1. Podstawiamy współrzędne punktu $A=(1,2)$ do wzoru funkcji, czyli obliczamy $f(1)$:
   $$f(1)=(m^2-3)\cdot 1^3-m^2+m+1=m^2-3-m^2+m+1=m-2$$
2. Ponieważ $f(1)=2$, otrzymujemy:
   $$m-2=2⟹m=4$$

1. Środkowy, rosnący fragment wykresu łączy punkty $(-4,-3)$ i $(3,4)$. Obliczamy współczynnik kierunkowy tej prostej:
   $$a=\frac{4-(-3)}{3-(-4)}=\frac{7}{7}=1$$
2. Wzór tego fragmentu to $f(x)=x+1$ dla $x\in [-4,3]$. Odczytujemy potrzebne wartości: dla $x=-3$ i $x=0$ korzystamy z tego wzoru, a dla $x=4$ funkcja jest już stała i równa $4$ (fragment poziomy od $x=3$ do $x=8$):
3. Obliczamy iloczyn:
   $$f(-3)\cdot f(0)\cdot f(4)=(-2)\cdot 1\cdot 4=-8$$

1. Funkcja liniowa $f(x)=ax+b$ jest rosnąca, gdy współczynnik kierunkowy jest dodatni. Tutaj $a=2m-5$, więc:
   $$\begin{array}{rl}& 2m-5>0\\ & m>2,5\end{array}$$

1. Funkcja nie ma miejsc zerowych, więc wyróżnik trójmianu jest ujemny:
   $$b^2-4ac<0$$
2. Wartość $f(0)=c$, a z treści wiemy, że $c<0$ — wykres funkcji w punkcie $x=0$ leży pod osią $Ox$. Skoro wykres nie przecina osi $Ox$ w żadnym punkcie (brak miejsc zerowych), cały wykres leży pod tą osią, więc parabola musi być skierowana ramionami w dół:
   $$a<0$$
3. Zatem prawidłowa jest odpowiedź B (wykres leży pod osią $Ox$) z uzasadnieniem 1. ($a<0$ i $b^2-4ac<0$).