Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Zapisz oba logarytmy jako potęgi i skorzystaj ze wzoru na logarytm potęgi.
   $$\begin{array}{rl}& {\log }_3\sqrt{27}={\log }_{3}27^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}{\log }_{3}27=\frac{1}{2}\cdot 3=\frac{3}{2}\\ & {\log }_{27}\sqrt{3}={\log }_{27}{3}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}{\log }_{27}3=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{6}\end{array}$$
2. Odejmij otrzymane wartości.
   $$\frac{3}{2}-\frac{1}{6}=\frac{9}{6}-\frac{1}{6}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$$

1. Zapisujemy iloczyn pod nawiasem, dodając wykładniki:
   $$5\cdot 5^{\frac{1}{2}}=5^{1+\frac{1}{2}}=5^{\frac{3}{2}}$$
2. Podnosimy do potęgi $\frac{1}{3}$, mnożąc wykładniki:
   $${\left(5^{\frac{3}{2}}\right)}^{\frac{1}{3}}=5^{\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{3}}=5^{\frac{1}{2}}=\sqrt{5}$$

1. Zapisujemy $8$ jako potęgę liczby $2$:
   $$8^{-40}=(2^3{)}^{-40}=2^{-120}$$
2. Dzielimy potęgi o tej samej podstawie, czyli odejmujemy wykładniki:
   $$\frac{2^{-120}}{2^{10}}=2^{-120-10}=2^{-130}$$

1. Upraszczamy $\sqrt{8}$, rozkładając liczbę pod pierwiastkiem:
   $$\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}$$
2. Podstawiamy do wyrażenia w nawiasie i wykonujemy odejmowanie:
   $$2\sqrt{8}-3\sqrt{2}=2\cdot 2\sqrt{2}-3\sqrt{2}=4\sqrt{2}-3\sqrt{2}=\sqrt{2}$$
3. Podnosimy otrzymany wynik do kwadratu:
   $${\left(\sqrt{2}\right)}^2=2$$

1. Stosujemy wzór na zamianę podstawy logarytmu do ${\log }_{25}27$, zapisując go przy podstawie $3$:
   $${\log }_{25}27=\frac{{\log }_{3}27}{{\log }_{3}25}=\frac{{\log }_{3}27}{{\log }_3{5}^2}=\frac{{\log }_{3}27}{2{\log }_{3}5}$$
2. Mnożymy przez ${\log }_{3}5$, dzięki czemu upraszcza się licznik całego wyrażenia:
   $${\log }_{3}5\cdot {\log }_{25}27={\log }_{3}5\cdot \frac{{\log }_{3}27}{2{\log }_{3}5}=\frac{{\log }_{3}27}{2}$$
3. Przekształcamy mianownik, korzystając z definicji pierwiastka oraz wzoru na logarytm potęgi:
   $${\log }_7\sqrt[6]{49}={\log }_7{\left(7^2\right)}^{\frac{1}{6}}={\log }_7{7}^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}{\log }_{7}7=\frac{1}{3}$$
4. Obliczamy wartość wyrażenia, korzystając z definicji logarytmu (${\log }_{3}27=3$):
   $$\frac{{\log }_{3}5\cdot {\log }_{25}27}{{\log }_7\sqrt[6]{49}}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}\cdot 3=\frac{9}{2}$$

1. Przy kapitalizacji rocznej po $n$ latach kapitał początkowy mnożymy przez $(1+r{)}^n$, gdzie $r$ to roczna stopa procentowa. Tutaj $r=0,07$ i $n=2$:
   $$40000\cdot (1+0,07{)}^2=40000\cdot (1,07{)}^2$$

1. Rozłóż licznik jako różnicę sześcianów i skróć ułamek.
   $$f(x)=\frac{x^3-8}{x-2}=\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2}=x^2+2x+4$$
2. Oblicz pochodną funkcji.
   $$f^{\prime }(x)=2x+2$$
3. Podstaw $x=\frac{1}{2}$.
   $$f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=2\cdot \frac{1}{2}+2=1+2=3$$

1. Podstawienie $x=-3$ daje wyrażenie nieoznaczone $\frac{0}{0}$, więc rozkładamy licznik i mianownik na czynniki, żeby znaleźć wspólny czynnik $(x+3)$.
   $$\begin{array}{rl}& 0,5x^2+3,5x+6=0,5(x^2+7x+12)=0,5(x+3)(x+4)\\ & -x^2+2x+15=-(x^2-2x-15)=-(x+3)(x-5)\end{array}$$
2. Skracamy czynnik $(x+3)$ w liczniku i mianowniku.
   $$\frac{0,5(x+3)(x+4)}{-(x+3)(x-5)}=\frac{0,5(x+4)}{-(x-5)}$$
3. Obliczamy granicę, podstawiając $x=-3$.
   $$\underset{x\to -3}{\lim }\frac{0,5(x+4)}{-(x-5)}=\frac{0,5\cdot 1}{-(-8)}=\frac{0,5}{8}=\frac{1}{16}$$

1. Korzystamy z własności logarytmów: różnica logarytmów o tej samej podstawie to logarytm ilorazu:
   $${\log }_{2}32-{\log }_{2}8={\log }_2\frac{32}{8}={\log }_{2}4$$
2. Obliczamy logarytm:
   $${\log }_{2}4=2$$

1. Z warunku $2x=3y$ wyznaczamy $x$ w zależności od $y$:
   $$x=\frac{3}{2}y$$
2. Podstawiamy do licznika i mianownika wyrażenia:
   $$\begin{array}{rl}& x^2+y^2={\left(\frac{3}{2}y\right)}^2+y^2=\frac{9}{4}{y}^2+y^2=\frac{13}{4}{y}^2\\ & x\cdot y=\frac{3}{2}y\cdot y=\frac{3}{2}{y}^2\end{array}$$
3. Dzielimy licznik przez mianownik (upraszczamy $y^2$, bo $y>0$):
   $$\frac{x^2+y^2}{x\cdot y}=\frac{\frac{13}{4}{y}^2}{\frac{3}{2}{y}^2}=\frac{13}{4}\cdot \frac{2}{3}=\frac{13}{6}$$