Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. 
   Podstawą graniastosłupa jest sześciokąt foremny o boku $a=6$. Pole sześciokąta foremnego obliczamy ze wzoru:
   $$P_6=\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2$$
2. Podstawiamy $a=6$:
   $$P_6=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 36=54\sqrt{3}$$
3. Graniastosłup prawidłowy ma dwie takie podstawy oraz ściany boczne będące prostokątami. Wysokość graniastosłupa jest równa długości krawędzi bocznej, czyli $6$. Obliczamy pole powierzchni bocznej jako obwód podstawy razy wysokość:
   $$P_b=6a\cdot h=6\cdot 6\cdot 6=216$$
4. Pole powierzchni całkowitej to suma pola powierzchni bocznej i pól obu podstaw:
   $$P_c=216+2\cdot 54\sqrt{3}=216+108\sqrt{3}$$

1. Z wykresu odczytujemy liczbę jabłek o poszczególnych masach:
   

   • $17$ dag - $2$ jabłka
   • $18$ dag - $6$ jabłek
   • $19$ dag - $8$ jabłek
   • $20$ dag - $17$ jabłek
   • $21$ dag - $11$ jabłek
   • $22$ dag - $3$ jabłka
   • $23$ dag - $3$ jabłka
2. Dominantą jest wartość, która występuje najczęściej. Z listy widzimy, że najliczniejsza jest masa $20$ dag ($17$ jabłek ze wszystkich $50$), więc dominanta jest równa $20$ dag, a poprawnym uzasadnieniem jest fakt, że ta masa występuje najliczniej w próbie — odpowiedź $A3$.

1. Z diagramu odczytujemy liczbę sklepów dla poszczególnych cen:
   

   • cena $5,05$ zł - $2$ sklepy
   • cena $5,60$ zł - $4$ sklepy
   • cena $5,70$ zł - $2$ sklepy
   • cena $6,00$ zł - $5$ sklepów
   • cena $6,30$ zł - $3$ sklepy

   Łącznie zbadano sklepów:
   $$2+4+2+5+3=16$$
2. Obliczamy średnią arytmetyczną: mnożymy każdą cenę przez liczbę sklepów, które ją zaoferowały, sumujemy i dzielimy przez łączną liczbę sklepów:
   $$\bar{x}=\frac{5,05\cdot 2+5,60\cdot 4+5,70\cdot 2+6,00\cdot 5+6,30\cdot 3}{16}=\frac{92,80}{16}=5,80$$

1. 
   Najdłuższą przekątną graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki, którego rzutem na płaszczyznę podstawy jest najdłuższa przekątna sześciokąta foremnego. Przechodzi ona przez środek podstawy i ma długość równą podwojonej długości boku:
   $$d=2a=2\cdot 6=12$$
2. Ta przekątna podstawy, wysokość graniastosłupa (równa krawędzi bocznej $h=6$) oraz szukana przekątna przestrzenna tworzą trójkąt prostokątny. Obliczamy długość przekątnej przestrzennej $e$:
   $$\begin{array}{rl}& e=\sqrt{d^2+h^2}\\ & e=\sqrt{12^2+6^2}\\ & e=\sqrt{144+36}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}\end{array}$$
3. Kąt nachylenia przekątnej $e$ do płaszczyzny podstawy leży przy przekątnej podstawy $d$, więc jego cosinus to stosunek przyprostokątnej $d$ do przeciwprostokątnej $e$:
   $$\begin{array}{rl}& \cos \alpha =\frac{d}{e}\\ & \cos \alpha =\frac{12}{6\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\end{array}$$

1. Na pierwszym miejscu liczby czterocyfrowej nie może stać $0$, więc mamy do wyboru $9$ cyfr (od $1$ do $9$).
2. Na drugim miejscu może stanąć dowolna cyfra różna od już użytej (w tym $0$), więc zostaje $9$ możliwości.
3. Na trzecim miejscu zostają $8$ niewykorzystanych jeszcze cyfr, a na czwartym miejscu $7$ cyfr.
4. Liczbę wszystkich takich liczb obliczamy, mnożąc liczby możliwości na kolejnych pozycjach:
   $$9\cdot 9\cdot 8\cdot 7$$

1. Liczba trzycyfrowa ma postać $\overline{abc}$, gdzie pierwsza cyfra $a\in \{1,2,\dots ,9\}$ (nie może być zerem), a $b,c\in \{0,1,\dots ,9\}$, oraz $a+b+c=3$. Wypisujemy wszystkie liczby spełniające ten warunek:
   $$102,111,120,201,210,300$$
2. Takich liczb jest łącznie $6$ — odpowiedź D.

1. Zdarzeniami elementarnymi są uporządkowane pary różnych liczb $(a,b)$, gdzie $a,b\in \{1,2,3,4,5\}$. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa:
   $$|\Omega |=5\cdot 4=20$$
2. Liczbami nieparzystymi w tym zbiorze są $1$, $3$, $5$. Zdarzeniu $A$ sprzyjają pary, w których obie wylosowane liczby są nieparzyste:
   

   • $(1,3)$
   • $(1,5)$
   • $(3,1)$
   • $(3,5)$
   • $(5,1)$
   • $(5,3)$

   Liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu $A$:
   $$|A|=3\cdot 2=6$$
3. Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia $A$:
   $$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$$

1. Łączna liczba klientów obsłużonych w ciągu wszystkich $30$ dni to suma wartości funkcji dla każdego dnia z osobna: $L(1)+L(2)+\dots +L(30)$, a nie sama wartość $L(30)$, czyli liczba klientów tylko w ostatnim, trzydziestym dniu. Te dwie wielkości są różne, więc stwierdzenie jest fałszywe (F).
2. Sprawdzamy drugie stwierdzenie, obliczając wartość funkcji dla $n=3$:
   $$L(3)=-3^2+22\cdot 3+279=-9+66+279=336$$
3. Otrzymana wartość zgadza się z podaną w zdaniu, więc stwierdzenie jest prawdziwe (P). Odpowiedź: FP.

1. Z diagramu odczytujemy liczbę pracowników z poszczególnym wynagrodzeniem brutto:
   

   • wynagrodzenie $4800$ zł - $10$ osób
   • wynagrodzenie $5100$ zł - $36$ osób
   • wynagrodzenie $5500$ zł - $5$ osób
   • wynagrodzenie $5900$ zł - $25$ osób
   • wynagrodzenie $6400$ zł - $18$ osób
   • wynagrodzenie $7500$ zł - $4$ osoby
   • wynagrodzenie $8600$ zł - $2$ osoby

   Sprawdzamy, że łączna liczba pracowników wynosi:
   $$10+36+5+25+18+4+2=100$$
2. Obliczamy średnią arytmetyczną, mnożąc każde wynagrodzenie przez liczbę pracowników, którzy je otrzymali, sumując te iloczyny i dzieląc przez liczbę wszystkich pracowników:
   $$\bar{x}=\frac{4800\cdot 10+5100\cdot 36+5500\cdot 5+5900\cdot 25+6400\cdot 18+7500\cdot 4+8600\cdot 2}{100}$$
3. Obliczamy licznik i dzielimy przez $100$:
   $$\begin{array}{rl}& \bar{x}=\frac{48000+183600+27500+147500+115200+30000+17200}{100}\\ & \bar{x}=\frac{569000}{100}=5690\end{array}$$