Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$:
   $${\left(5-2\sqrt{3}\right)}^2=5^2-2\cdot 5\cdot 2\sqrt{3}+{\left(2\sqrt{3}\right)}^2$$
2. Obliczamy poszczególne składniki i upraszczamy:
   $$25-20\sqrt{3}+4\cdot 3=25-20\sqrt{3}+12=37-20\sqrt{3}$$

1. Łączna kwota zapłacona w hurtowni za $50$ par spodni po $x$ zł i $40$ marynarek po $y$ zł wynosi $8000$ zł:
   $$50x+40y=8000$$
2. Cena detaliczna spodni po doliczeniu marży $50\%$ to $1,5x$, a cena detaliczna marynarki po doliczeniu marży $20\%$ to $1,2y$. Ceny detaliczne są jednakowe:
   $$1,5x=1,2y$$
3. Otrzymujemy układ równań:
   $$\{\begin{array}{l}50x+40y=8000\\ 1,5x=1,2y\end{array}$$

1. Suma wektorów jest wektorem zerowym, więc obie jej współrzędne są równe zero.
   $$\begin{array}{rl}& 2+2m+n+1=0\\ & \frac{2}{3}n+1+m+2=0\end{array}$$
2. Upraszczamy oba równania.
   $$\begin{array}{rl}& 2m+n+3=0\\ & \frac{2}{3}n+m+3=0\end{array}$$
3. Z pierwszego równania wyznaczamy $n$ w zależności od $m$.
   $$n=-2m-3$$
4. Podstawiamy do drugiego równania i wyznaczamy $m$.
   $$\begin{array}{rl}& \frac{2}{3}(-2m-3)+m+3=0\\ & -\frac{4}{3}m-2+m+3=0\\ & -\frac{1}{3}m+1=0\\ & m=3\end{array}$$
5. Obliczamy $n$.
   $$n=-2\cdot 3-3=-9$$

1. Korzystamy ze wzoru na logarytm potęgi $n{\log }_{a}b={\log }_a{b}^n$:
   $$\begin{array}{rl}& 4{\log }_{4}2={\log }_4{2}^4={\log }_{4}16\\ & 2{\log }_{4}8={\log }_4{8}^2={\log }_{4}64\end{array}$$
2. Sumę logarytmów o tej samej podstawie zamieniamy na logarytm iloczynu:
   $${\log }_{4}16+{\log }_{4}64={\log }_4(16\cdot 64)={\log }_{4}1024$$
3. Ponieważ $4^5=1024$, otrzymujemy:
   $${\log }_{4}1024=5$$

1. Zastosuj wzór na prawdopodobieństwo całkowite, uwzględniając wybór urny zależny od wyniku rzutu monetą.
   $$P(B)=P(R)\cdot P(B|U_1)+P(O)\cdot P(B|U_2)$$
2. Podstaw dane liczbowe i oblicz.
   $$\begin{array}{rl}P(B)& =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{7}+\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{7}\\ & =\frac{1}{14}+\frac{4}{14}\\ & =\frac{5}{14}\end{array}$$

1. Niech $c$ oznacza cenę działki przed obniżkami. Każda obniżka o $10\%$ oznacza pomnożenie aktualnej ceny przez $0,9$, więc po dwóch obniżkach otrzymujemy równanie:
   $$c\cdot 0,9\cdot 0,9=78732$$
2. Upraszczamy równanie:
   $$c\cdot 0,81=78732$$
3. Wyznaczamy $c$:
   $$c=\frac{78732}{0,81}=97200$$

1. Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika $(x-y)(x+y)$:
   $$\frac{1}{x-y}+\frac{1}{x+y}=\frac{(x+y)+(x-y)}{(x-y)(x+y)}$$
2. Upraszczamy licznik i mianownik korzystając ze wzoru skróconego mnożenia $a^2-b^2$:
   $$\frac{(x+y)+(x-y)}{(x-y)(x+y)}=\frac{2x}{x^2-y^2}$$

1. Po pierwszej obniżce o $30\%$ cena stanowi $70\%$ ceny początkowej:
   $$0,7x$$
2. Po drugiej obniżce o $20\%$ (liczonej od nowej ceny) zostaje $80\%$ tej wartości:
   $$0,8\cdot 0,7x=0,56x$$

1. Korzystamy ze wzoru na potęgę o wykładniku będącym sumą: $a^{m+n}=a^m\cdot a^n$:
   $$3^{2+\frac{1}{4}}=3^2\cdot 3^{\frac{1}{4}}$$
2. Potęgę o wykładniku $\frac{1}{4}$ zapisujemy jako pierwiastek czwartego stopnia:
   $$3^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{3}$$
3. Zatem:
   $$3^{2+\frac{1}{4}}=3^2\cdot \sqrt[4]{3}$$

1. Wyłączamy wspólny czynnik $(x+1)$ przed nawias:
   $$5(x+1)-x^2(x+1)=(x+1)(5-x^2)=0$$
2. Iloczyn jest równy zero, gdy jeden z czynników jest równy zero:
   $$\begin{array}{rl}& x+1=0⟹x=-1\\ & 5-x^2=0\\ & x^2=5\\ & x=\sqrt{5}\text{ lub }x=-\sqrt{5}\end{array}$$
3. Spośród podanych odpowiedzi rozwiązaniem równania jest liczba $-1$.