Zbiór zadań

Znaleziono 276 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Niech $r$ oznacza promień podstawy walca, a $h$ – wysokość walca. Z treści zadania zapisujemy dwa równania:
   $$\begin{gathered} 2r\cdot h=12\sqrt{3} \\ 2\pi r^2+2\pi rh=12\pi (\sqrt{3}+1) \end{gathered}$$
2. Z pierwszego równania wyznaczamy $h$ i podstawiamy do drugiego:
   $$\begin{gathered} h=\frac{6\sqrt{3}}{r} \\ 2\pi r^2+2\pi r\cdot \frac{6\sqrt{3}}{r}=12\pi (\sqrt{3}+1) \end{gathered}$$
3. Upraszczamy i wyznaczamy $r^2$:
   $$2\pi r^2+12\sqrt{3}\pi =12\pi (\sqrt{3}+1)⟹r^2=6$$
4. Stąd:
   $$r=\sqrt{6},h=\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=3\sqrt{2}$$
5. Obliczamy objętość $V$ walca:
   $$V=\pi r^{2}h=\pi \cdot 6\cdot 3\sqrt{2}=18\pi \sqrt{2}$$

1. Niech $A$ oznacza zdarzenie, że losowo wybrana osoba dobrze włada językiem niemieckim, $B_1$ – że ma wyższe wykształcenie, a $B_2$ – że nie ma wyższego wykształcenia. Z treści zadania:
   $$P(B_1)=0,35,P(B_2)=0,65$$
2. Prawdopodobieństwa warunkowe władania językiem niemieckim wynoszą:
   $$P(A|B_1)=0,7,P(A|B_2)=0,4$$
3. Szukane prawdopodobieństwo obliczamy z twierdzenia Bayesa:
   $$P(B_1|A)=\frac{P(B_1)\cdot P(A|B_1)}{P(A|B_1)\cdot P(B_1)+P(A|B_2)\cdot P(B_2)}$$
4. Podstawiamy dane i obliczamy:
   $$P(B_1|A)=\frac{0,35\cdot 0,7}{0,7\cdot 0,35+0,4\cdot 0,65}=0,(4851)\approx 0,49$$

1. Ponieważ $|4x-8|=4\cdot |x-2|$ oraz $|2-x|=|x-2|$ dla każdego $x\in \mathbb{R}$, dane równanie można przekształcić równoważnie do postaci:
   $$4\cdot |x-2|=|x+2|+4$$
2. Rozważamy trzy przedziały: $(-\infty ,-2)$, $[-2,2)$, $[2,+\infty )$.
3. Dla $x\in (-\infty ,-2)$ równanie przyjmuje postać:
   $$\begin{array}{rl}& -4x+8=-x-2+4\\ & -3x=-6\\ & x=2\end{array}$$
4. Ponieważ $2\notin (-\infty ,-2)$, ten przypadek nie daje rozwiązania.
5. Dla $x\in [-2,2)$ równanie przyjmuje postać:
   $$\begin{array}{rl}& -4x+8=x+2+4\\ & -5x=-2\\ & x=\frac{2}{5}\end{array}$$
6. Ponieważ $\frac{2}{5}\in [-2,2)$, liczba $\frac{2}{5}$ jest rozwiązaniem.
7. Dla $x\in [2,+\infty )$ równanie przyjmuje postać:
   $$\begin{array}{rl}& 4x-8=x+2+4\\ & 3x=14\\ & x=\frac{14}{3}\end{array}$$
8. Ponieważ $\frac{14}{3}\in [2,+\infty )$, liczba $\frac{14}{3}$ jest rozwiązaniem.
9. Ostatecznie rozwiązaniami danego równania są liczby $\frac{2}{5}$ oraz $\frac{14}{3}$.