Zadanie 2 - Matura rozszerzona 2024 (maj) - Rozwiązanie

2 pkt

Oblicz granicę

x \to 2^{-} lim \frac{x ^{3} - 8}{( x - 2 ) ^{2}}

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

- \infty

Rozkładamy licznik na czynniki, korzystając ze wzoru na różnicę sześcianów $x^{3} - 8 = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ , i skracamy przez $(x - 2)$ dla $x \neq = 2$ :
$\frac{x ^{3} - 8}{( x - 2 ) ^{2}} = \frac{( x - 2 ) ( x ^{2} + 2 x + 4 )}{( x - 2 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} + 2 x + 4}{x - 2}$
Obliczamy granice licznika i mianownika osobno. Licznik dąży do $12$ , a mianownik dąży do $0$ „od strony ujemnej" (bo $x \to 2^{-}$ oznacza $x < 2$ , więc $x - 2 < 0$ ):
$x \to 2^{-} lim (x^{2} + 2 x + 4) = 12, x \to 2^{-} lim (x - 2) = 0^{-}$
Iloraz liczby dodatniej przez wyrażenie dążące do zera od strony ujemnej dąży do $- \infty$ , więc:
$x \to 2^{-} lim \frac{x ^{3} - 8}{( x - 2 ) ^{2}} = - \infty$

Podobne zadania z działu granice

Matura rozszerzona czerwiec 2024, zadanie 2Oblicz granicę lim_(x → 3⁻) (|x-3|)/(x²-9) Zapisz obliczenia.
Matura rozszerzona grudzień 2024, zadanie 8Oblicz granicę lim_(n→+∞)(1+3+5+7+…+(2n+1))/(binomn2) gdzie 1+3+5+7+…+(2n+1) jest sumą kolejnych liczb…
Matura rozszerzona czerwiec 2022, zadanie 2Granica lim_(x → -3) (0,5x²+3,5x+6)/(-x²+2x+15) jest równa
Matura rozszerzona maj 2021, zadanie 5Oblicz granicę lim_(n → ∞) ((3n+2)²-(1-2n)²)/((2n-1)²). W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej…
Matura rozszerzona czerwiec 2020, zadanie 2Ciąg (aₙ) jest określony wzorem aₙ = (3n²+7n-5)/(11-5n+5n²) dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Granica tego…
Matura rozszerzona czerwiec 2026 (F. 2015), zadanie 5Oblicz granicę lim_(x → 2) (x⁵-2x⁴+x²-3x+2)/(x³-2x²+3x-6) W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do…