Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 27

4 pkt

Rozwiąż równanie

sin 6 x + cos 3 x = 2 sin 3 x + 1

w przedziale

⟨ 0, π ⟩

.

x \in {0, \frac{7 π}{18}, \frac{11 π}{18}, \frac{2 π}{3}}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Zamieniamy $sin 6 x$ ze wzoru na sinus kąta podwojonego i przenosimy wszystko na jedną stronę, żeby wyłączyć wspólny czynnik.
$2 sin 3 x cos 3 x + cos 3 x = 2 sin 3 x + 1 cos 3 x (2 sin 3 x + 1) = 2 sin 3 x + 1 (2 sin 3 x + 1) (cos 3 x - 1) = 0$

Zadanie 12 Równania

6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} + (m + 1) x - m^{2} + 1 = 0

ma dwa rozwiązania rzeczywiste

x_{1}

i

x_{2}

(

x_{1} \neq = x_{2}

), spełniające warunek

x_{1}^{3} + x_{2}^{3} > - 7 x_{1} x_{2}

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 12 Planimetria

5 pkt

Trapez prostokątny

A B C D

o podstawach

A B

i

C D

jest opisany na okręgu. Ramię

B C

ma długość

10

, a ramię

A D

jest wysokością trapezu. Podstawa

A B

jest

2

razy dłuższa od podstawy

C D

. Oblicz pole tego trapezu.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 13 Ciągi

4 pkt

Wyrazy ciągu geometrycznego

(a_{n})

, określonego dla

n \geq 1

, spełniają układ równań

{a_{3} + a_{6} = - 84 a_{4} + a_{7} = 168

Wyznacz liczbę

n

początkowych wyrazów tego ciągu, których suma

S_{n}

jest równa

32769

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 13 Geometria analityczna

5 pkt

Wierzchołki

A

i

B

trójkąta prostokątnego

A B C

leżą na osi

O y

układu współrzędnych. Okrąg wpisany w ten trójkąt jest styczny do boków

A B

,

B C

i

C A

w punktach – odpowiednio –

P = (0, 10)

,

Q = (8, 6)

i

R = (9, 13)

. Oblicz współrzędne wierzchołków

A

,

B

i

C

tego trójkąta.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 14 Funkcja kwadratowa

6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} - 3 m x + (m + 1) (2 m - 1) = 0

ma dwa różne rozwiązania

x_{1}

,

x_{2}

spełniające warunki:

x_{1} \cdot x_{2} \neq = 0

oraz

0 < \frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} \leq \frac{2}{3}

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 14 Geometria analityczna

6 pkt

Punkt

A = (7, - 1)

jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego

A B C

, w którym

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣

. Obie współrzędne wierzchołka

C

są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt

A B C

ma równanie

x^{2} + y^{2} = 10

. Oblicz współrzędne wierzchołków

B

i

C

tego trójkąta.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 15.1 Planimetria

1 pkt

Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w które można wpisać okrąg, spełniające warunek: suma długości dłuższej podstawy

a

i wysokości trapezu jest równa

2

.
a) Wyznacz wszystkie wartości

a

, dla których istnieje trapez o podanych własnościach.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 15.1 Pochodne

2 pkt

Rozpatrujemy wszystkie możliwe drewniane szkielety o kształcie przedstawionym na rysunku, wykonane z listewek. Każda z tych listewek ma kształt prostopadłościanu o podstawie kwadratu o boku długości

x

. Wymiary szkieletu zaznaczono na rysunku.

a) Wyznacz objętość

V

drewna potrzebnego do budowy szkieletu jako funkcję zmiennej

x

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 15.2 Pochodne

1 pkt

Rozpatrujemy wszystkie możliwe drewniane szkielety o kształcie przedstawionym na rysunku, wykonane z listewek. Każda z tych listewek ma kształt prostopadłościanu o podstawie kwadratu o boku długości

x

. Wymiary szkieletu zaznaczono na rysunku.

b) Wyznacz dziedzinę funkcji

V

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 15.2 Dowody geometryczne

2 pkt

Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w które można wpisać okrąg, spełniające warunek: suma długości dłuższej podstawy

a

i wysokości trapezu jest równa

2

.
b) Wykaż, że obwód

L

takiego trapezu, jako funkcja długości

a

dłuższej podstawy trapezu, wyraża się wzorem

L (a) = \frac{4 a ^{2} - 8 a + 8}{a}

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 15.3 Pochodne

4 pkt

Rozpatrujemy wszystkie możliwe drewniane szkielety o kształcie przedstawionym na rysunku, wykonane z listewek. Każda z tych listewek ma kształt prostopadłościanu o podstawie kwadratu o boku długości

x

. Wymiary szkieletu zaznaczono na rysunku.

c) Oblicz tę wartość

x

, dla której zbudowany szkielet jest możliwie najcięższy, czyli kiedy funkcja

V

osiąga wartość największą. Oblicz tę największą objętość.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 15.3 Pochodne

4 pkt

Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w które można wpisać okrąg, spełniające warunek: suma długości dłuższej podstawy

a

i wysokości trapezu jest równa

2

.
c) Oblicz tangens kąta ostrego tego spośród rozpatrywanych trapezów, którego obwód jest najmniejszy.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 1 Wartość bezwzględna

1 pkt

Równanie

∣ ∣ x - 4∣ - 2 ∣ = 2

ma dokładnie

Zadanie 1 Potęgi i pierwiastki

1 pkt

Liczba

(2 - 3 - 2 + 3)^{2}

jest równa

Zbiór zadań

Wyniki