Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 31

4 pkt

W schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki wydzielające trzy identyczne wybiegi o wspólnych ścianach wewnętrznych. Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt (jak pokazano na rysunku). Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć

36

metrów bieżących siatki.

Oblicz wymiary

x

oraz

y

jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych trzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na każdy z wybiegów. Zapisz obliczenia.

x = 4, 5

m,

y = 3

m

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku: $x$ to szerokość jednego wybiegu, a $y$ to jego długość. Na ogrodzenie składają się $4$ odcinki o długości $x$ oraz $2$ odcinki o długości $3 y$ , co daje równanie na łączną długość siatki. Wyznaczamy z niego $y$ :
$4 x + 6 y = 36 y = 6 - \frac{2}{3} x$

Zadanie 31 Dowody algebraiczne

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

takich, że

x \neq = 2 y

, prawdziwa jest nierówność

x^{2} + 4 y^{2} - 4 > 4 (x y - 1)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 32 Funkcja kwadratowa

2 pkt

Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej

f (x) = x^{2} + b x + c

jest prosta o równaniu

x = - 2

. Jednym z miejsc zerowych funkcji

f

jest liczba

1

.

Oblicz współczynniki

b

oraz

c

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 32 Dowody algebraiczne

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x \neq = 1

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

prawdziwa jest nierówność

x^{2} + 49 y^{2} > 2 (x + 7 y - 1)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 32 Funkcja liniowa

2 pkt

Funkcja liniowa

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{3}{3} x - 3

.

W układzie współrzędnych

(x, y)

wykres funkcji

y = f (x)

jest prostą, która jest nachylona do osi

O x

pod kątem ostrym

α

i przecina oś

O y

w punkcie

P

.

Oblicz sinus kąta

α

oraz drugą współrzędną punktu

P

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 32.1 Funkcja kwadratowa

1 pkt

Właściciel sklepu z zabawkami przeprowadził lokalne badanie rynkowe dotyczące wpływu zmiany ceny zestawu klocków na liczbę kupujących ten produkt. Z badania wynika, że dzienny przychód

P

ze sprzedaży zestawów klocków, w zależności od kwoty obniżki ceny zestawu o

x

zł, wyraża się wzorem

P (x) = (70 - x) (20 + x)

gdzie

x

jest liczbą całkowitą spełniającą warunki

x \geq 0

i

x \leq 60

.

Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A–E.

Dzienny przychód ze sprzedaży zestawów klocków będzie największy, gdy liczba

x

jest równa

Zadanie 32.2 Funkcja kwadratowa

1 pkt

Właściciel sklepu z zabawkami przeprowadził lokalne badanie rynkowe dotyczące wpływu zmiany ceny zestawu klocków na liczbę kupujących ten produkt. Z badania wynika, że dzienny przychód

P

ze sprzedaży zestawów klocków, w zależności od kwoty obniżki ceny zestawu o

x

zł, wyraża się wzorem

P (x) = (70 - x) (20 + x)

gdzie

x

jest liczbą całkowitą spełniającą warunki

x \geq 0

i

x \leq 60

.

Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A–E.

Dzienny przychód ze sprzedaży zestawów klocków będzie równy

800

zł, gdy liczba

x

jest równa

Zadanie 33 Ciągi

2 pkt

Ciąg

(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4})

jest arytmetyczny.
Suma pierwszego i drugiego wyrazu jest o

12

większa od sumy trzeciego i czwartego wyrazu tego ciągu.

Oblicz różnicę tego ciągu.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 34 Ciągi

2 pkt

Trzywyrazowy ciąg

(4 x^{2} - 1, 2 x^{2} + 1, 1 - x)

jest arytmetyczny.

Oblicz

x

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 36 Geometria analityczna

5 pkt

W układzie współrzędnych

(x, y)

dane są punkty

A = (2, 8)

oraz

B = (10, 2)

. Symetralna odcinka

A B

przecina oś

O x

układu współrzędnych w punkcie

P

.

Oblicz współrzędne punktu

P

oraz obwód trójkąta

A B P

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 36 Geometria przestrzenna

5 pkt

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym o objętości równej

108

stosunek długości krawędzi podstawy do wysokości graniastosłupa jest równy

\frac{1}{4}

.

Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem

α

(zobacz rysunek).

Oblicz cosinus kąta

α

oraz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 36 Geometria analityczna

5 pkt

W układzie współrzędnych

(x, y)

przekątne równoległoboku

A B C D

przecinają się w punkcie

S = (9, 11)

. Bok

A B

tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu

y = \frac{1}{2} x - 1

, a bok

A D

zawiera się w prostej o równaniu

y = 2 x - 4

.

Oblicz współrzędne wierzchołka

B

oraz długość odcinka

B S

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 1 Potęgi i pierwiastki

1 pkt

Liczba

6^{30} : 4^{15}

jest równa

Zadanie 1 Wartość bezwzględna

1 pkt

Na osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zbiór zaznaczony na osi jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

Zadanie 1 Potęgi i pierwiastki

1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba

(3^{- 2, 4} \cdot 3^{\frac{2}{5}})^{\frac{1}{2}}

jest równa

Zbiór zadań

Wyniki