Zbiór zadań

Znaleziono 757 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Środek zaznaczonego przedziału to średnia arytmetyczna jego końców:
   $$\frac{-3+7}{2}=2$$
2. Promień przedziału, czyli odległość końców od środka:
   $$\frac{7-(-3)}{2}=5$$
3. Końce przedziału są zaznaczone kółkami niezamalowanymi (otwartymi), więc nierówność jest ostra. Zbiorem rozwiązań nierówności $|x-2|<5$ jest przedział $(-3,7)$, co zgadza się z rysunkiem.

1. Po pierwszym roku kapitał powiększa się o $7\%$, czyli mnożymy go przez $1,07$:
   $$30000\cdot 1,07=32100$$
2. Po drugim roku znowu doliczamy $7\%$, tym razem od nowego kapitału:
   $$32100\cdot 1,07=34347$$
3. Łączna wartość doliczonych odsetek to różnica między kapitałem końcowym a wpłaconym:
   $$34347-30000=4347$$

1. Korzystamy z własności logarytmów ${\log }_{a}x+{\log }_{a}y={\log }_a(xy)$:
   $${\log }_{9}27+{\log }_{9}3={\log }_9(27\cdot 3)={\log }_{9}81$$
2. Zapisujemy $81$ jako potęgę liczby $9$ i obliczamy logarytm:
   $${\log }_{9}81={\log }_9{9}^2=2$$

1. Korzystamy ze wzoru na logarytm iloczynu ${\log }_{a}x+{\log }_{a}y={\log }_a(xy)$:
   $${\log }_2\frac{1}{8}+{\log }_{2}4={\log }_2\left(\frac{1}{8}\cdot 4\right)$$
2. Mnożymy pod logarytmem, skracając licznik i mianownik przez $4$:
   $${\log }_2\left(\frac{\bcancel{4}}{{\bcancel{8}}_2}\right)={\log }_2\frac{1}{2}$$
3. Liczba $\frac{1}{2}=2^{-1}$, więc logarytm o podstawie $2$ z tej liczby jest równy $-1$:
   $${\log }_2\frac{1}{2}={\log }_2{2}^{-1}=-1$$

1. Stosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$, gdzie $x=2a-3$, $y=2a+3$:
   $$(2a-3{)}^2-(2a+3{)}^2=\left[(2a-3)-(2a+3)\right]\cdot \left[(2a-3)+(2a+3)\right]$$
2. Upraszczamy oba nawiasy:
   $$(2a-3)-(2a+3)=-6,(2a-3)+(2a+3)=4a$$
3. Mnożymy otrzymane wyniki:
   $$-6\cdot 4a=-24a$$

1. Obliczamy ${\left(-\frac{1}{9}\right)}^{-2}$. Podniesienie do potęgi ujemnej to odwrotność podniesienia do potęgi dodatniej:
   $${\left(-\frac{1}{9}\right)}^{-2}=(-9{)}^2=81$$
2. Obliczamy $3^{-1}$:
   $$3^{-1}=\frac{1}{3}$$
3. Podstawiamy do wyrażenia. Mianownik $81$ skraca się z mnożnikiem $81$:
   $$\frac{3^{-1}}{81}\cdot 81=3^{-1}=\frac{1}{3}$$

1. Stosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ dla $a=1+\sqrt{5}$ i $b=1-\sqrt{5}$:
   $$\begin{array}{rl}& {\left(1+\sqrt{5}\right)}^2-{\left(1-\sqrt{5}\right)}^2=\\ & =\left[(1+\sqrt{5})-(1-\sqrt{5})\right]\cdot \left[(1+\sqrt{5})+(1-\sqrt{5})\right]\end{array}$$
2. Upraszczamy każdy z nawiasów:
   $$\begin{array}{rl}& (1+\sqrt{5})-(1-\sqrt{5})=2\sqrt{5}\\ & (1+\sqrt{5})+(1-\sqrt{5})=2\end{array}$$
3. Mnożymy otrzymane wyniki:
   $$2\sqrt{5}\cdot 2=4\sqrt{5}$$

1. Mnożymy obie strony nierówności przez $3$, aby pozbyć się ułamka:
   $$-6(x+3)\le 2-x$$
2. Wymnażamy nawias po lewej stronie:
   $$-6x-18\le 2-x$$
3. Przenosimy wyrazy z $x$ na lewą stronę, a liczby na prawą:
   $$\begin{array}{rl}-6x+x& \le 2+18\\ -5x& \le 20\end{array}$$
4. Dzielimy obie strony przez $-5$, zmieniając przy tym znak nierówności (dzielimy przez liczbę ujemną):
   $$x\ge -4$$
5. Zatem zbiorem rozwiązań jest przedział $[-4,\infty )$.

1. Zauważamy, że $\sqrt{3}-2$ jest liczbą przeciwną do $2-\sqrt{3}$, a podniesienie liczby przeciwnej do kwadratu daje ten sam wynik:
   $$(\sqrt{3}-2{)}^2={\left(-(2-\sqrt{3})\right)}^2=(2-\sqrt{3}{)}^2$$
2. Podstawiamy do wyrażenia. Oba składniki są sobie równe, więc ich różnica wynosi:
   $$(2-\sqrt{3}{)}^2-(\sqrt{3}-2{)}^2=(2-\sqrt{3}{)}^2-(2-\sqrt{3}{)}^2=0$$

1. Z pierwszego równania wyznaczamy $x$:
   $$x=3y-5$$
2. Podstawiamy do drugiego równania i rozwiązujemy:
   $$\begin{array}{rl}& 2(3y-5)+y+3=0\\ & 6y-10+y+3=0\\ & 7y-7=0\\ & y=1\end{array}$$
3. Obliczamy $x$:
   $$x=3\cdot 1-5=-2$$

1. Iloczyn jest równy zero, gdy jeden z czynników jest równy zero (czynnik $\sqrt{3}$ nigdy nie jest zerem):
   $$x^2-2=0\text{lub}x+3=0$$
2. Rozwiązujemy pierwsze równanie:
   $$x^2=2⟹x=\sqrt{2}\text{ lub }x=-\sqrt{2}$$
3. Rozwiązujemy drugie równanie:
   $$x+3=0⟹x=-3$$
4. Rozwiązaniami równania są liczby $\sqrt{2}$, $-\sqrt{2}$ oraz $-3$. Wśród podanych odpowiedzi występuje $\sqrt{2}$.

1. Sprowadzamy oba składniki do wspólnego mianownika $2x$:
   $$\frac{1}{2x}-x=\frac{1}{2x}-\frac{2x\cdot x}{2x}=\frac{1-2x^2}{2x}$$