Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 92

3 pkt

Rozwiąż nierówność:

\frac{2 x - 1}{1 - x} \leq \frac{2 + 2 x}{5 x}

x \in (- \infty, - \frac{1}{4}] \cup (0, \frac{2}{3}] \cup (1, + \infty)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Załóż $x \neq = 0$ oraz $x \neq = 1$ (mianowniki muszą być różne od zera). Przekształć nierówność równoważnie, sprowadzając obie strony do zera.
$\frac{2 x - 1}{1 - x} \leq \frac{2 + 2 x}{5 x} \frac{2 x - 1}{1 - x} - \frac{2 + 2 x}{5 x} \leq 0$

Zadanie 7 Funkcje

1 pkt

Na poniższym rysunku przedstawiono wykres funkcji

f

określonej w zbiorze

⟨ - 6, 5 ⟩

.

Funkcja

g

jest określona wzorem

g (x) = f (x) - 2

dla

x \in ⟨ - 6, 5 ⟩

. Wskaż zdanie prawdziwe.

Zadanie 7 Potęgi i pierwiastki

1 pkt

Do liczby

(- 10)

dodajemy

5

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Otrzymany wynik jest liczbą

Zadanie 7 Trygonometria

4 pkt

Rozwiąż równanie:

sin (x + \frac{1}{4} π) \cdot cos (x + \frac{1}{4} π) = \frac{2}{4}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 7 Wyrażenia algebraiczne

1 pkt

Suma dwóch dodatnich liczb

a

i

b

jest równa

46

.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Po zmniejszeniu każdej z tych liczb o $6$ suma otrzymanych liczb będzie równa $34$ .
Po zwiększeniu każdej z tych liczb o połowę suma otrzymanych liczb będzie równa $69$ .

Zadanie 7 Funkcja liniowa

1 pkt

Funkcja liniowa

f

jest określona wzorem

f (x) = - 2 x + 4

. Wykres funkcji

f

przesunięto wzdłuż osi

O x

o

2

jednostki w lewo (tzn. przeciwnie do zwrotu osi), w wyniku czego otrzymano wykres funkcji

g

. Funkcja

g

jest określona wzorem

Zadanie 7 Planimetria

3 pkt

Dany jest trójkąt

A B C

. Na boku

A B

tego trójkąta obrano punkty

D

,

E

i

F

tak, że

∣ A D ∣ = ∣ D E ∣ = ∣ E F ∣ = 2∣ F B ∣

. Na bokach

A C

i

B C

obrano – odpowiednio – punkty

G

i

H

tak, że

D G ∥ E C

oraz

F H ∥ E C

(zobacz rysunek).

Wykaż, że jeżeli pole trójkąta

F B H

jest równe

S

, to pole trójkąta

A D G

jest równe

3 S

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 8 Planimetria

3 pkt

Dany jest trójkąt równoboczny

A B C

. Na bokach

A B

i

A C

wybrano punkty – odpowiednio –

D

i

E

takie, że

∣ B D ∣ = ∣ A E ∣ = \frac{1}{3} ∣ A B ∣

. Odcinki

C D

i

B E

przecinają się w punkcie

P

(zobacz rysunek).

Wykaż, że pole trójkąta

D B P

jest

21

razy mniejsze od pola trójkąta

A B C

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 8 Potęgi i pierwiastki

1 pkt

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Wartość wyrażenia

1 + \frac{25}{144}

jest równa A/B.

Wartość wyrażenia

3 3 + \frac{3}{8}

jest równa C/D.

Zaznacz dwie odpowiedzi.

Zadanie 8 Wyrażenia algebraiczne

1 pkt

Trójki liczb naturalnych

a

,

b

i

c

, które spełniają warunek

a^{2} + b^{2} = c^{2}

, nazywamy trójkami pitagorejskimi. Niektóre z nich znajdujemy z wykorzystaniem wzorów:

a = 2 n + 1 b = 2 n (n + 1) c = 2 n^{2} + 2 n + 1

,

gdzie

n

oznacza dowolną liczbę naturalną (

n \geq 1

). W zadaniach 8. i 9. liczby

a

,

b

i

c

są wyznaczone za pomocą tych wzorów.

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Liczba

a

zawsze będzie A/B.

Liczby

b

i

c

różnią się o C/D.

Zaznacz dwie odpowiedzi.

Zadanie 8 Trygonometria

4 pkt

Na przeciwprostokątnej

A B

trójkąta prostokątnego

A B C

zbudowano kwadrat

A B D E

(zobacz rysunek). Stosunek pola trójkąta do pola kwadratu jest równy

k

.

Wykaż, że suma tangensów kątów ostrych tego trójkąta jest równa

\frac{1}{2 k}

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 8 Trygonometria

4 pkt

Rozwiąż równanie

2 cos^{2} x - cos x = sin 2 x - sin x

w przedziale

⟨ 0, 2 π ⟩

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 8 Funkcja liniowa

1 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = a x + 4

dla każdej liczby rzeczywistej

x

. Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba

(- 1)

. Wtedy

Zadanie 8 Procenty

1 pkt

Czekolada o masie

20

dag przed promocją kosztowała

9, 60

zł. Producent czekolady przygotował dwie promocje.

Promocja I
Masa czekolady o

20%

większa przy tej samej cenie.

Promocja II
Cena czekolady o

20%

mniejsza przy tej samej masie.

Czy dla klienta kupującego

120

dag czekolady bardziej opłacalna jest promocja II niż I? Wybierz odpowiedź A albo B i jej uzasadnienie spośród 1., 2. albo 3.

Zaznacz jedną literę i jedną cyfrę.

Zadanie 8 Funkcja liniowa

1 pkt

Funkcja liniowa

f (x) = (a - 1) x + 3

osiąga wartość najmniejszą równą

3

. Wtedy

	ponieważ		w promocji I masa czekolady wzrośnie o $4$ dag, natomiast w promocji II masa się nie zmieni.
			w promocji II $1$ dag czekolady kosztuje mniej niż w promocji I.
			w promocji II trzeba kupić $6$ czekolad, natomiast w promocji I – tylko $5$ .

Zbiór zadań

Wyniki