Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Odczytujemy przebieg funkcji na kolejnych odcinkach wykresu: na $[-6,-3)$ funkcja jest stała, na $[-3,2)$ jest rosnąca, a na $[2,5]$ jest malejąca — wykres opada od punktu $(2,5)$ do punktu $(5,3)$.
2. Zatem funkcja $f$ jest malejąca w zbiorze:
   $$[2,5]$$

1. Z wykresu odczytujemy, że funkcja $f$ jest malejąca (wykres opada w prawo), więc współczynnik kierunkowy jest ujemny:
   $$a<0$$
2. Z wykresu odczytujemy też, że prosta przecina oś $y$ powyżej punktu $0$, czyli wartość funkcji dla $x=0$ jest dodatnia:
   $$b=f(0)>0$$

1. Różnicę ciągu arytmetycznego obliczamy jako różnicę dwóch kolejnych znanych wyrazów:
   $$r=a_3-a_2=9-4=5$$
2. Pierwszy wyraz wyznaczamy, cofając się o jeden krok od $a_2$:
   $$a_1=a_2-r=4-5=-1$$
3. Szósty wyraz obliczamy ze wzoru ogólnego $a_n=a_1+(n-1)r$:
   $$a_6=a_1+5r=-1+5\cdot 5=-1+25=24$$

1. Funkcja kwadratowa $f(x)=(x-13{)}^2-256$ jest zapisana w postaci kanonicznej, więc oś symetrii jej paraboli to prosta $x=13$. Miejsca zerowe funkcji kwadratowej są symetryczne względem osi symetrii.
2. Obliczamy odległość znanego miejsca zerowego $x=-3$ od osi symetrii:
   $$13-(-3)=16$$
3. Drugie miejsce zerowe leży w takiej samej odległości od osi symetrii, ale po jej drugiej stronie:
   $$13+16=29$$

1. Z rysunku odczytujemy, że odcinek $DE$ jest prostopadły do boku $AB$ (zaznaczony kąt prosty w punkcie $E$), więc $DE$ jest wysokością równoległoboku $ABCD$ poprowadzoną z wierzchołka $D$ na podstawę $AB$.
2. Bok $DC$ równoległoboku $ABCD$ jest równoległy do $AB$ (przeciwległe boki równoległoboku są równoległe), więc $DC$ jest też prostopadły do $DE$.
3. W równoległoboku $ECFD$ bok $ED$ jest równoległy do boku $CF$. Odcinek $DC$ łączy punkt $D$ leżący na prostej $ED$ z punktem $C$ leżącym na prostej $CF$ i jest do obu prostopadły, więc $DC$ jest wysokością równoległoboku $ECFD$ opuszczoną na bok $ED$. Zdanie pierwsze jest prawdziwe (P).
4. Obliczamy pole równoległoboku $ABCD$, przyjmując za podstawę bok $AB$, a za wysokość odcinek $DE$.
   $$P_{ABCD}=|AB|\cdot |DE|$$
5. Obliczamy pole równoległoboku $ECFD$, przyjmując za podstawę bok $ED$, a za wysokość wyznaczony wcześniej odcinek $DC$.
   $$P_{ECFD}=|ED|\cdot |DC|$$
6. Bok $DC$ równoległoboku $ABCD$ ma taką samą długość jak bok $AB$ (przeciwległe boki równoległoboku są równej długości), więc oba pola są sobie równe.
   $$P_{ECFD}=|ED|\cdot |AB|=P_{ABCD}$$
7. Pola obu równoległoboków są równe. Zdanie drugie jest prawdziwe (P).

1. Odczytujemy dziedzinę z wykresu. Wykres funkcji $f$ składa się z dwóch fragmentów: od $x=-5$ do $x=-1$ oraz od $x=1$ do $x=5$. Wszystkie cztery krańce są zaznaczone otwartymi kółkami, więc są wykluczone z dziedziny:
   $$D_f=(-5,-1)\cup (1,5)$$
2. Odczytujemy zbiór wartości z wykresu. Na lewym fragmencie funkcja przyjmuje wszystkie wartości od $-3$ do $-1$ włącznie — obie te wartości są osiągane wewnątrz przedziału (w punktach $x=-4$ i $x=-3$, które należą do dziedziny), mimo że skrajne punkty wykresu tego fragmentu są wykluczone. Analogicznie prawy fragment przyjmuje wszystkie wartości od $1$ do $3$ włącznie:
   $$Z{W}_f=[-3,-1]\cup [1,3]$$
3. Zatem dziedziną funkcji $f$ jest zbiór $(-5,-1)\cup (1,5)$ (odpowiedź F), a zbiorem wartości funkcji $f$ jest zbiór $[-3,-1]\cup [1,3]$ (odpowiedź A).

1. Wartości mniejsze od $-1$ funkcja $f$ przyjmuje wyłącznie na lewym fragmencie wykresu — wartości prawego fragmentu należą do przedziału $[1,3]$, więc są większe od $-1$.
2. Na lewym fragmencie funkcja jest stała i równa $-3$ dla $x$ od $-5$ do $-4$, a następnie rośnie od $-3$ do $-1$ dla $x$ od $-4$ do $-3$. Warunek $f(x)<-1$ jest więc spełniony dla wszystkich $x$ z dziedziny mniejszych od $-3$:
   $$x\in (-5,-3)$$
3. Punkt $x=-3$ odrzucamy, bo w nim $f(x)=-1$, więc nierówność ostra nie jest tam spełniona. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $f(x)<-1$ jest:
   $$x\in (-5,-3)$$

1. Wykres funkcji kwadratowej (parabola) jest symetryczny względem prostej pionowej przechodzącej przez wierzchołek, czyli względem prostej $x=3$. Oba miejsca zerowe leżą więc w takiej samej odległości od tej prostej. Obliczamy odległość znanego miejsca zerowego od osi symetrii:
   $$3-(-5)=8$$
2. Drugie miejsce zerowe leży w tej samej odległości po drugiej stronie osi symetrii:
   $$x_2=3+8=11$$

1. Bok kwadratu $K$ ma długość $7$ cm, bo $\sqrt{49}=7$. Sprawdzamy, czy z boków figur $F_1$ ($5$ cm), $F_2$ ($3$ cm) i $F_3$ ($3$ cm i $5$ cm) da się złożyć odcinek o długości $7$ cm.
   $$\begin{array}{rl}& 5+3=8\\ & 3+3=6\\ & 5+5=10\end{array}$$
2. Żadna suma długości boków tych figur nie daje $7$ cm, więc mimo że pola figur sumują się do $49{\text{cm}}^2$, nie da się z nich ułożyć kwadratu $K$ bez rozcinania. Odpowiedź: B, uzasadnienie 3.

1. Pierwszy wyraz ciągu to suma jednego początkowego wyrazu, czyli $S_1$:
   $$a_1=S_1=4\cdot (2^1-1)=4\cdot 1=4$$
2. Zgadza się to z pierwszym stwierdzeniem, więc jest ono prawdziwe (P).
3. Drugi wyraz obliczamy jako różnicę $S_2$ i $S_1$:
   $$\begin{array}{rl}{S}_2& =4\cdot (2^2-1)=4\cdot 3=12\\ a_2& =S_2-S_1=12-4=8\end{array}$$
4. Ponieważ $a_2=8\ne 12$, drugie stwierdzenie jest fałszywe (F). Odpowiedź: PF.