Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Wartość funkcji dla $x=0$ jest równa $f(0)=1$ niezależnie od współczynników $a$ i $b$ — na każdym z czterech rysunków krzywa przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,1)$.
2. Współczynnik $a<0$ oznacza, że parabola ma ramiona skierowane w dół — odrzucamy rysunki A i C, na których ramiona są skierowane w górę.
3. Oś symetrii paraboli wyznacza wzór $x=-\frac{b}{2a}$. Ponieważ $a<0$ i $b>0$, licznik $-b$ jest ujemny, a mianownik $2a$ też jest ujemny, więc:
4. Wierzchołek paraboli leży więc po prawej stronie osi $Oy$. Spośród wykresów z ramionami skierowanymi w dół (B i D) pasuje ten, na którym wierzchołek znajduje się na prawo od osi $Oy$ — czyli rysunek D.

1. Odczytujemy z wykresu przebieg funkcji $f$: na przedziale $[-7,-5]$ funkcja jest stała (równa $4$), na przedziale $[-4,-1]$ również jest stała (równa $4$), na przedziale $[-1,4]$ funkcja maleje (od $4$ do $-1$), a na przedziale $[5,7]$ funkcja rośnie (od $1$ do $6$).
2. Jedynym przedziałem, w którym funkcja $f$ jest rosnąca, jest $[5,7]$.

1. Trójkąt $ACD$ jest równoboczny (boki $CD$ i $DA$ są równe, a trzeci bok $AC$ dopełnia go do równoboczności), więc wszystkie jego kąty mają miarę $60°$, a boki $AC$, $CD$, $DA$ są równej długości.
2. Kąt $BCD$ jest sumą kątów $BCA$ i $ACD$, więc obliczamy kąt $BCA$:
   $$\begin{array}{rl}& \angle BCA+\angle ACD=\angle BCD\\ & \angle BCA+60°=131°\\ & \angle BCA=71°\end{array}$$
3. Bok $AB$ ma tę samą długość co $DA$, a $DA$ jest równe $AC$ (z równoboczności trójkąta $ACD$), więc $AB=AC$ i trójkąt $ABC$ jest równoramienny z podstawą $BC$. Kąty przy podstawie są równe: $\angle ABC=\angle ACB=71°$. Zdanie „Kąt $ABC$ ma miarę $60°$" jest więc fałszywe.
4. Z sumy kątów w trójkącie $ABC$ obliczamy kąt $BAC$:
   $$\angle BAC=180°-71°-71°=38°$$
5. Kąt $DAB$ jest sumą kątów $DAC$ i $CAB$:
   $$\angle DAB=\angle DAC+\angle CAB=60°+38°=98°$$
6. Zdanie „Kąt $DAB$ ma miarę $98°$" jest prawdziwe. Odpowiedź: FP.

1. Podstawą graniastosłupa jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $3$ cm i $4$ cm oraz przeciwprostokątnej $5$ cm (trójkąt $3$-$4$-$5$). Obliczamy pole jednej podstawy.
   $$P_{podstawy}=\frac{3\cdot 4}{2}=6$$
2. Obliczamy pole powierzchni bocznej jako iloczyn obwodu podstawy i wysokości graniastosłupa.
   $$P_{boczna}=(3+4+5)\cdot 1=12$$
3. Pole powierzchni bocznej ($12$ cm${}^2$) jest dwa razy większe niż pole jednej podstawy ($6$ cm${}^2$) - odpowiedź B.
4. Obliczamy pole powierzchni całkowitej jako sumę pola bocznej i pól dwóch podstaw.
   $$P_{całkowite}=12+2\cdot 6=24$$
5. Pole powierzchni całkowitej jest równe $24$ cm${}^2$ - odpowiedź C.

1. Podstawiamy $n=4$ do wzoru ciągu:
   $$a_4=2^4\cdot (4+1)=16\cdot 5=80$$

1. Zbiór wartości $(-\infty ,2]$ jest ograniczony z góry, więc szukamy funkcji, których wykres to parabola skierowana ramionami w dół (współczynnik przy $x^2$ ujemny). Funkcje $B$, $D$ i $E$ mają współczynnik dodatni (parabola ramionami w górę), więc ich zbiór wartości jest ograniczony z dołu, a nie z góry, więc od razu je odrzucamy.
2. Funkcja $A(x)=-(x-3{)}^2+2$ jest już zapisana w postaci kanonicznej: jej wierzchołek to $(3,2)$, więc wartość maksymalna wynosi $2$, a zbiór wartości to:
   $$(-\infty ,2]$$
3. Funkcja $C(x)=-5(x-2{)}^2$ ma wierzchołek $(2,0)$, więc wartość maksymalna wynosi $0$, a zbiór wartości to $(-\infty ,0]$, a to nie jest szukany przedział.
4. Funkcję $F(x)=-2x^2+4x$ sprowadzamy do postaci kanonicznej:
   $$F(x)=-2x^2+4x=-2(x^2-2x)=-2(x-1{)}^2+2$$
5. Wierzchołek to $(1,2)$, więc wartość maksymalna wynosi $2$, a zbiór wartości to $(-\infty ,2]$, co pasuje. Zatem szukanymi funkcjami są $A$ oraz $F$.

1. W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych:
   $$12^2=(1-2a)\cdot 48$$
2. Obliczamy lewą stronę i rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}144& =48(1-2a)\\ 144& =48-96a\\ 96a& =48-144\\ 96a& =-96\\ a& =-1\end{array}$$

1. Podstawiamy do wzoru dane $m_0=200$ oraz $t=12$:
   $$m(12)=200\cdot (0,6{)}^{0,25\cdot 12}=200\cdot (0,6{)}^3$$
2. Obliczamy wartość potęgi i mnożymy:
   $$200\cdot (0,6{)}^3=200\cdot 0,216=43,2$$
3. Po $12$ godzinach w organizmie chorego pozostanie więc $43,2$ mg leku.

1. Niech $x$ oznacza cenę jednego biletu do teatru (w zł). Cena jednego biletu do kina jest o $64$ zł mniejsza, więc wynosi $x-64$.
2. Za $4$ bilety do teatru i $5$ biletów do kina zapłacono łącznie $400$ zł, więc układamy i rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& 4x+5(x-64)=400\\ & 4x+5x-320=400\\ & 9x=720\\ & x=80\end{array}$$
3. Cena jednego biletu do teatru jest równa $80$ zł.

1. Szukamy wyrazów spełniających nierówność $a_n<10$, więc podstawiamy wzór ciągu:
   $$\frac{n-2}{3}<10$$
2. Rozwiązujemy nierówność:
   $$\begin{array}{rl}n-2& <30\\ n& <32\end{array}$$
3. Ponieważ $n$ jest liczbą naturalną spełniającą $n\ge 1$, warunek $n<32$ spełniają liczby $n=1,2,\dots ,31$, czyli dokładnie $31$ wyrazów.

1. W ciągu geometrycznym kwadrat wyrazu środkowego jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych:
   $$9^2=27\cdot (a-1)$$
2. Rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& 81=27(a-1)\\ & a-1=3\\ & a=4\end{array}$$