Dla każdej liczby rzeczywistej x różnej od (-3) i (-2) wartość wyrażenia (x+3)/(x²+4x+4) · (x²+2x)/(2x+6) jest równa wartości wyrażenia

Zadanie 7, matura podstawowa grudzień 2023

1 pkt

Dla każdej liczby rzeczywistej

x

różnej od

(- 3)

(- 2)

wartość wyrażenia

\frac{x + 3}{x ^{2} + 4 x + 4} \cdot \frac{x ^{2} + 2 x}{2 x + 6}

jest równa wartości wyrażenia

\frac{x}{2 x + 4}

1
Rozkładamy licznik i mianownik pierwszego ułamka oraz licznik drugiego na czynniki:
$x^{2} + 4 x + 4 = (x + 2)^{2}, x^{2} + 2 x = x (x + 2)$
2
Zapisujemy $2 x + 6 = 2 (x + 3)$ i podstawiamy rozkłady do wyrażenia:
$\frac{x + 3}{( x + 2 ) ^{2}} \cdot \frac{x ( x + 2 )}{2 ( x + 3 )}$
3
Skracamy wspólny czynnik $(x + 3)$ w liczniku i mianowniku:
$\frac{( x + 3 ) \cdot x ( x + 2 )}{( x + 2 ) ^{2} \cdot 2 \cdot ( x + 3 )} = \frac{x ( x + 2 )}{2 ( x + 2 ) ^{2}}$
4
Skracamy jeden czynnik $(x + 2)$ w liczniku z jednym z dwóch czynników $(x + 2)$ w mianowniku:
$\frac{x \cdot ( x + 2 )}{2 \cdot ( x + 2 ) \cdot ( x + 2 )} = \frac{x}{2 ( x + 2 )} = \frac{x}{2 x + 4}$