Ciąg (a,b,c) jest trzywyrazowym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Ciąg (2a,2b,c+1) jest trzywyrazowym ciągiem arytmetycznym. Ponadto spełniony jest warunek c−b=6.
Oblicz a, b oraz c. Zapisz obliczenia.
Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?
Poprawna odpowiedź
a=1,b=3,c=9
Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.
Zapisz poniżej w postaci przedziału zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości ujemne.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.
Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.
Wzór funkcji f można przedstawić w postaci: ………. oraz ………. .
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.
Funkcja kwadratowa g jest określona za pomocą funkcji f następująco: g(x)=f(x+1). Na jednym z rysunków A–D przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y), fragment wykresu funkcji y=g(x).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Fragment wykresu funkcji y=g(x) przedstawiono na rysunku
Proces stygnięcia naparu z ziół w otoczeniu o stałej temperaturze 22°C opisuje funkcja wykładnicza T(x)=78⋅2−0,05x+22, gdzie T(x) to temperatura naparu wyrażona w stopniach Celsjusza (°C) po x minutach liczonych od momentu x=0, w którym zioła zalano wrzątkiem.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Temperatura naparu po 20 minutach od momentu zalania ziół wrzątkiem jest równa
Czworokąt wypukły ABCD jest wpisany w okrąg o promieniu 4. Kąty BAD i BCD są proste (zobacz rysunek). Przekątne AC i BD tego czworokąta przecinają się w punkcie E tak, że ∣BE∣=3⋅∣DE∣ oraz ∣BD∣=2⋅∣AE∣.
Oblicz długości boków czworokąta ABCD. Zapisz obliczenia.
Funkcja f jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem f(x)=x2+1x−k, gdzie k jest pewną liczbą rzeczywistą. Ta funkcja spełnia warunek f(1)=2.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wartość współczynnika k we wzorze tej funkcji jest równa
Porównujemy 52 z 31, sprowadzając ułamki do wspólnego mianownika:
52=15631=155
Ponieważ 156>155, prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej NIE jest mniejsze od 31 – drugie zdanie jest fałszywe (F). Odpowiedź: PF.
C oraz E
Obwód prostokąta o bokach a i b wyraża się wzorem 2a+2b (równoważnie 2(a+b)), a z treści zadania wiemy, że jest on równy 30:
2a+2b=30czyli roˊwnowaz˙nie2(a+b)=30
Ponieważ a>b, a jeden bok jest o 5 krótszy od drugiego, to bok a jest o 5 dłuższy od boku b:
a−b=5czyli roˊwnowaz˙nieb=a−5
Porównujemy te dwie zależności z podanymi układami. Układ C zawiera równania 2(a+b)=30 oraz b=a−5, a układ E zawiera równania 2a+2b=30 oraz a−b=5 — oba opisują dokładnie te same zależności, tylko zapisane w równoważny sposób. Poprawnymi odpowiedziami są C oraz E.
A.(−∞,−2]
B.(−∞,4]
C.[−2,+∞)
D.[4,+∞)
C. [−2,+∞)
Z rysunku odczytujemy, że wierzchołek paraboli ma współrzędne (4,−2), a ramiona paraboli są skierowane w górę (parabola ma najmniejszą wartość w wierzchołku).
Najmniejszą wartością funkcji jest więc −2, a funkcja rośnie nieograniczenie po obu stronach wierzchołka, więc zbiorem wartości jest przedział:
[−2,+∞)
(2,6)
Z rysunku odczytujemy, że parabola przecina oś Ox w punktach x=2 oraz x=6, a ramiona paraboli są skierowane w górę.
Wartości funkcji są ujemne dokładnie między miejscami zerowymi, czyli dla:
x∈(2,6)
A.f(x)=21(x−2)(x−6)
B.f(x)=21(x−4)2−2
C.f(x)=2(x−2)(x−6)
D.f(x)=21(x+4)2−2
E.f(x)=2(x+2)(x+6)
F.f(x)=2(x+4)2−2
AB
Z rysunku odczytujemy miejsca zerowe funkcji: x=2 oraz x=6, oraz wierzchołek paraboli w punkcie (4,−2).
Postać iloczynowa z miejscami zerowymi 2 i 6, sprawdzona przez punkt przecięcia z osią Oy odczytany z wykresu (f(0)=6), to:
f(x)=21(x−2)(x−6),bo 21(0−2)(0−6)=21⋅12=6
Postać kanoniczna z tym samym współczynnikiem a=21 i wierzchołkiem (4,−2) to:
f(x)=21(x−4)2−2
Poprawne odpowiedzi to A oraz B.
B
Przekształcenie g(x)=f(x+1) przesuwa wykres funkcji f o 1 w lewo wzdłuż osi Ox.
Wierzchołek paraboli f znajduje się w punkcie (4,−2), więc wierzchołek paraboli g znajduje się w punkcie:
(4−1,−2)=(3,−2)
Miejsca zerowe funkcji f to x=2 i x=6, więc miejsca zerowe funkcji g to:
x=2−1=1orazx=6−1=5
Wykres z wierzchołkiem w punkcie (3,−2) i miejscami zerowymi x=1 oraz x=5 przedstawiono na rysunku B.
A. 22 °C
B. 39 °C
C. 78 °C
D. 61 °C
D. 61 °C
Podstawiamy x=20 do wzoru funkcji:
T(20)=78⋅2−0,05⋅20+22=78⋅2−1+22
Obliczamy:
78⋅21+22=39+22=61
PP
Rysunek ma symetrię względem poziomej osi przechodzącej przez środek prostokąta - górna i dolna połowa są swoim lustrzanym odbiciem. Lewy trójkąt ma za podstawę lewy bok prostokąta, a jego trzeci wierzchołek leży na tej osi symetrii.
Górny i dolny róg lewego boku są symetryczne względem osi, więc oba ramiona lewego trójkąta (odcinki łączące trzeci wierzchołek z tymi rogami) mają równą długość. Z tego samego powodu równoramienny jest też trójkąt po prawej stronie. Zdanie pierwsze jest prawdziwe (P).
Ramię trójkąta dzieli kąt prosty przy rogu prostokąta na dwie części: kąt trójkąta i sąsiedni kąt ostry trapezu. Te dwa kąty sumują się do kąta prostego.
kąt troˊjkąta+kąt ostry trapezu=90∘
Jeśli kąt ostry trapezu ma miarę 30°, to kąt trójkąta przy tym samym rogu jest równy
90∘−30∘=60∘
Z symetrii trapezów tak samo wygląda to przy drugim rogu tego boku, więc oba kąty przy podstawie trójkąta mają po 60°. Trzeci kąt trójkąta uzupełnia sumę kątów w trójkącie do 180°.
180∘−60∘−60∘=60∘
Wszystkie trzy kąty trójkąta mają miarę 60°, więc trójkąt jest równoboczny. Zdanie drugie jest prawdziwe (P).
A.(−4)
B.(−21)
C.2
D.74
D. 74
Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty obliczamy ze wzoru:
a=xB−xAyB−yA
Podstawiamy współrzędne punktów A=(−3,−1) i B=(4,3):
a=4−(−3)3−(−1)=74
∣AB∣=210,∣BC∣=36,∣CD∣=10,∣AD∣=26
Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
Punkt F jest środkiem boku CD, a punkt E jest środkiem boku BC, więc kąt FCE jest kątem prostym (kątem prostokąta) – trójkąt FCE jest prostokątny. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość odcinka FC:
FC2+EC2=EF2FC2=102−62=100−36=64FC=8cm
Punkt F jest środkiem CD, więc bok CD jest dwa razy dłuższy od FC, a punkt E jest środkiem BC, więc bok BC jest dwa razy dłuższy od EC:
CD=2⋅FC=2⋅8=16cmBC=2⋅EC=2⋅6=12cm
Obliczamy obwód prostokąta ABCD:
2⋅(BC+CD)=2⋅(12+16)=56cm
Obwód prostokąta ABCD jest równy 56 cm – to odpowiedź B.
A.(−3)
B.3
C.(−4)
D.4
A. (−3)
Podstawiamy x=1 do wzoru funkcji i korzystamy z warunku f(1)=2:
12+11−k=2
Upraszczamy mianownik i rozwiązujemy równanie:
21−k=21−k=4k=−3
81log3x+32⋅log227⋅log32⋅x2−6x=x4+x2−6x
Przekształcamy pierwszy składnik, korzystając z zapisu 81=34 oraz własności 3log3x=x:
81log3x=(34)log3x=(3log3x)4=x4
Upraszczamy log227, zapisując 27=2721=323:
Podstawiamy do współczynnika przy x2:
32⋅23log23⋅log32=log23⋅log32
Korzystamy ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu (log23=log321), więc iloczyn upraszcza się do 1:
log23⋅log32=log321⋅log32=1
Podstawiając oba wyniki, otrzymujemy równoważną postać wyrażenia:
Odcinek poziomy wykresu zaczyna się w punkcie x=−6 (zamknięty, pełny punkt) i kończy w x=−3 (otwarty, puste kółko).
Od x=−3 (tu już zamknięty, bo funkcja przyjmuje w tym miejscu inną wartość) wykres rośnie aż do x=2 (otwarty, puste kółko na szczycie), a następnie maleje od x=2 (zamknięty) do x=5 (zamknięty, koniec wykresu).
Łącząc wszystkie odcinki bez przerw w dziedzinie, otrzymujemy: