Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Prosta, która jest wykresem funkcji $f$, przechodzi przez punkty $(2,0)$ i $(0,4)$. Obliczamy jej współczynnik kierunkowy:
   $$a=\frac{4-0}{0-2}=-2$$
2. Zatem pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe (P) — współczynnik kierunkowy prostej jest równy $(-2)$.
3. Trójkąt ograniczony osiami układu współrzędnych i wykresem funkcji $f$ ma wierzchołki $(0,0)$, $(2,0)$ i $(0,4)$. Jego przyprostokątne mają długości $2$ i $4$, więc jego pole jest równe:
   $$P=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 4=4$$
4. Ponieważ $4\ne 8$, drugie stwierdzenie jest fałszywe (F).

1. Pole rombu obliczamy ze wzoru z iloczynem przekątnych.
   $$P=\frac{d_1\cdot d_2}{2}$$
2. Podstawiamy długości przekątnych $24$ cm i $18$ cm.
   $$P=\frac{24\cdot 18}{2}=\frac{432}{2}=216{\text{cm}}^2$$

1. Odczytujemy z wykresu współrzędne wierzchołków trapezu:
   

   • $E=(2,0)$
   • $F=(4,1)$
   • $G=(1,4)$
   • $H=(0,2)$
2. Podane punkty $(1,4)$ i $(2,0)$ to współrzędne wierzchołków $G$ i $E$ (odpowiedź B).

1. Proste na rysunku są równoległe, więc oba równania układu muszą mieć ten sam współczynnik kierunkowy. Tylko w odpowiedziach A i C obie proste mają równe współczynniki kierunkowe (w B i D są różne), więc odpadają B i D.
2. Proste na rysunku są malejące, więc współczynnik kierunkowy musi być ujemny. W odpowiedzi C wynosi on $\frac{3}{2}>0$ (proste rosnące), a w odpowiedzi A wynosi $-\frac{3}{2}<0$ – zgodnie z rysunkiem. Zostaje odpowiedź A.

1. Z wykresu odczytujemy, że przy zużyciu $10$ litrów farby pomalowano powierzchnię $100{\text{m}}^2$, a przy $20$ litrach – $200{\text{m}}^2$. Współczynnik proporcjonalności wynosi więc $k=10$.
2. Sprawdzamy pierwsze zdanie: obliczamy powierzchnię pomalowaną $18$ litrami farby.
   $$18\cdot 10=180$$
3. Otrzymany wynik zgadza się z podanym w zdaniu ($180{\text{m}}^2$), więc pierwsze zdanie jest prawdziwe (P).
4. Sprawdzamy drugie zdanie: obliczamy, ile litrów farby potrzeba na pomalowanie $125{\text{m}}^2$ powierzchni.
   $$125:10=12,5$$
5. Potrzeba $12,5$ litra farby, a nie $12$ litrów, więc drugie zdanie jest fałszywe (F).

1. Masa bańki z mlekiem rośnie wraz z liczbą litrów mleka $x$ (im więcej mleka, tym większa masa), więc funkcja $f$ jest rosnąca, a nie malejąca — pierwsze stwierdzenie jest fałszywe (F).
2. Funkcja $f$ opisuje masę, która dla $x\in [0,10]$ zawsze wynosi co najmniej $6,5$ kg — nigdy nie jest równa zero, więc funkcja rzeczywiście nie ma miejsc zerowych — drugie stwierdzenie jest prawdziwe (P).

1. Z wykresu odczytujemy, że funkcja $f$ jest łamaną złożoną z dwóch odcinków: pierwszy prowadzi od punktu $(-1,4)$ do punktu $(1,0)$, drugi od punktu $(1,0)$ do punktu $(7,4)$.
2. Wyznaczamy wzór funkcji na pierwszym odcinku (wartość spada z $4$ do $0$, gdy $x$ rośnie o $2$, więc współczynnik kierunkowy jest równy $-2$):
   $$f(x)=-2(x-1)=-2x+2,x\in [-1,1]$$
3. Wyznaczamy wzór funkcji na drugim odcinku (wartość rośnie z $0$ do $4$, gdy $x$ rośnie o $6$, więc współczynnik kierunkowy jest równy $\frac{2}{3}$):
   $$f(x)=\frac{2}{3}(x-1),x\in [1,7]$$
4. Znajdujemy miejsce, w którym pierwszy odcinek przyjmuje wartość $2$:
   $$\begin{array}{rl}& -2x+2=2\\ & -2x=0\\ & x=0\end{array}$$
5. Znajdujemy miejsce, w którym drugi odcinek przyjmuje wartość $2$:
   $$\begin{array}{rl}& \frac{2}{3}(x-1)=2\\ & x-1=3\\ & x=4\end{array}$$
6. Funkcja maleje od $4$ do $0$ na przedziale $[-1,1]$, a następnie rośnie od $0$ do $4$ na przedziale $[1,7]$. Wartości nie większe od $2$ funkcja przyjmuje dokładnie pomiędzy wyznaczonymi punktami, czyli dla $x\in [0,4]$.

1. Przesunięcie wykresu funkcji $f$ o $4$ jednostki w lewo wzdłuż osi $Ox$ odpowiada podstawieniu $x+4$ w miejsce $x$ we wzorze funkcji, czyli $g(x)=f(x+4)$ — odpowiedź A.
2. Przesunięcie wzdłuż osi $Ox$ zmienia dziedzinę funkcji (przesuwa się ona o $4$ w lewo), ale nie zmienia zbioru wartości — wykresy $f$ i $g$ przyjmują dokładnie te same wartości $y$, tylko dla innych argumentów $x$. Zatem funkcje $f$ i $g$ mają takie same zbiory wartości — odpowiedź 2.

1. Funkcja $f$ jest rosnąca, więc największą wartość przyjmuje na prawym końcu przedziału, czyli dla $x=10$. Masa bańki wraz z mlekiem wynosi wtedy sumę masy bańki i masy $10$ litrów mleka:
   $$f(10)=6,5+1,03\cdot 10=6,5+10,3=16,8$$

1. Masa bańki z mlekiem to suma stałej masy pustej bańki ($6,5$ kg) oraz masy $x$ litrów mleka, gdzie każdy litr waży $1,03$ kg:
   $$f(x)=1,03x+6,5$$

1. Funkcja liniowa $f(x)=ax+b$ jest malejąca, gdy współczynnik kierunkowy $a$ jest ujemny. W naszym przypadku $a=-2k+3$, więc:
   $$-2k+3<0$$
2. Rozwiązujemy nierówność:
   $$\begin{array}{rl}-2k+3& <0\\ -2k& <-3\\ k& >\frac{3}{2}\end{array}$$
3. Funkcja $f$ jest malejąca dla $k\in \left(\frac{3}{2},+\infty \right)$.