Na planie miasta wykonanym w skali 1:5000 odległość w linii prostej między punktem oznaczającym wejście do papugarni a punktem oznaczającym wejście do muzeum zabawek jest równa 8,4 cm.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
W terenie odległość między wejściami do tych obiektów jest w linii prostej równa
W trójkącie ostrokątnym ABC miara kąta BAC jest dwa razy większa od miary kąta ABC. Punkt D jest środkiem boku AB. Niech α oznacza miarę kąta ABC, natomiast β - miarę kąta ADC (zobacz rysunek).
W układzie współrzędnych (x,y) zaznaczono pięć punktów P1, P2, P3, P4 oraz P5 (zobacz rysunek). Wszystkie współrzędne tych punktów są liczbami całkowitymi.
Punkt P1 ma współrzędne (−1,−2).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Jeżeli współrzędną x punktu P1 zwiększymy o 4, a współrzędną y tego punktu zwiększymy o 3, to otrzymamy współrzędne punktu
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osią Ox układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt (3,0). Ta parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych (0,−9).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osią Ox układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Osią symetrii wykresu funkcji f jest prosta o równaniu
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt (3,0). Ta parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych (0,−9).
Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.
Wzór funkcji f zapisano w odpowiedziach oznaczonych literami: ___ oraz ___.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osią Ox układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt (3,0). Ta parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych (0,−9).
Funkcja kwadratowa g jest określona za pomocą funkcji f następująco: g(x)=f(x)−1.
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Funkcja g ma jedno miejsce zerowe.
P
F
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) osią symetrii wykresu funkcji g jest prosta o równaniu x=3.
Miejsce zerowe funkcji to argument, dla którego y=0. Z tabeli odczytujemy, że f(−1)=0 oraz f(1)=0 — to dwa różne miejsca zerowe, więc pierwsze stwierdzenie jest fałszywe (F).
Wykres jest symetryczny względem osi Oy, gdy f(−x)=f(x) dla każdego x z dziedziny. Sprawdzamy to dla x=2:
f(−2)=−1=3=f(2)
Wartości są różne, więc wykres funkcji f NIE jest symetryczny względem osi Oy — drugie stwierdzenie jest fałszywe (F).
FP
Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
Do współrzędnej x punktu P1 dodajemy 4, a do współrzędnej y dodajemy 3.
(−1+4,−2+3)=(3,1)
Na rysunku punktem o współrzędnych (3,1) jest punkt P2.
A.(−∞,−2]
B.[1,+∞)
C.[−1,3]
D.[−2,+∞)
D. [−2,+∞)
Ramiona paraboli są skierowane do góry, więc najmniejszą wartość funkcja przyjmuje w wierzchołku, a nie ma wartości największej.
Z rysunku odczytujemy współrzędne wierzchołka: (1,−2), więc najmniejsza wartość funkcji to −2.
Zbiorem wartości funkcji f jest przedział:
[−2,+∞)
A.(−∞,0]
B.(−∞,3]
C.[0,+∞)
D.[3,+∞)
D. [3,+∞)
Wierzchołkiem paraboli jest punkt (3,0). Ponieważ parabola przechodzi przez punkt (0,−9), który leży poniżej wierzchołka, ramiona paraboli są skierowane w dół.
Funkcja kwadratowa, której wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w dół, jest rosnąca do wierzchołka i malejąca od wierzchołka. Zatem funkcja f jest malejąca w przedziale:
[3,+∞)
A.x=1
B.y=1
C.x=−2
D.y=−2
A. x=1
Osią symetrii paraboli jest prosta pionowa przechodząca przez jej wierzchołek.
Z rysunku odczytujemy, że wierzchołek paraboli ma współrzędną x=1, więc osią symetrii jest prosta:
x=1
A.f(x)=−x2−9
B.f(x)=−(x−3)2
C.f(x)=−(x+3)2
D.f(x)=−x2+6x−9
E.f(x)=−x2−6x+9
F.f(x)=−x2−6x−9
B i D
Postać kanoniczna funkcji kwadratowej z wierzchołkiem (3,0) ma postać:
f(x)=a(x−3)2
Wyznaczamy współczynnik a, korzystając z faktu, że parabola przechodzi przez punkt (0,−9):
a(0−3)2=−99a=−9a=−1
Wzór funkcji w postaci kanonicznej to:
f(x)=−(x−3)2
Rozwijamy nawias, aby otrzymać postać ogólną:
f(x)=−(x2−6x+9)=−x2+6x−9
Porównując z podanymi odpowiedziami, wzór funkcji f zapisano w odpowiedziach oznaczonych literami B i D.
A.f(x)=21(x−1)2+2
B.f(x)=21(x+1)2+2
C.f(x)=21(x−1)2−2
D.f(x)=21(x+1)2−2
C. f(x)=21(x−1)2−2
Wierzchołek paraboli ma współrzędne (1,−2), więc wzór funkcji w postaci kanonicznej to f(x)=a(x−1)2−2 dla pewnego a.
Z rysunku odczytujemy, że parabola przechodzi przez punkt (3,0) (miejsce zerowe). Podstawiamy współrzędne tego punktu, aby wyznaczyć a:
0=a(3−1)2−20=4a−2a=21
Wzór funkcji f to:
f(x)=21(x−1)2−2
FP
Funkcja g powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji f(x)=−(x−3)2 o 1 w dół:
g(x)=−(x−3)2−1
Wierzchołkiem paraboli g jest punkt (3,−1), a ramiona są skierowane w dół, więc największą wartością funkcji g jest −1. Ponieważ −1<0, funkcja g nigdy nie przyjmuje wartości 0 — nie ma miejsc zerowych. Zatem pierwsze stwierdzenie jest fałszywe (F).
Przesunięcie wykresu w pionie nie zmienia osi symetrii — oś symetrii wykresu funkcji g to nadal prosta x=3. Zatem drugie stwierdzenie jest prawdziwe (P).
A.0
B.3
C.4
D.5
D. 5
Skoro 2 jest miejscem zerowym funkcji, to f(2)=0. Podstawiamy x=2 do wzoru funkcji:
(3−m)⋅2+4=0
Rozwiązujemy otrzymane równanie:
6−2m+4=010−2m=0m=5
A.6:5
B.5:4
C.4:3
D.3:2
B. 5:4
Wprowadzamy oznaczenia:
s – długość boku trzech jednakowych małych kwadratów w prawym dolnym rzędzie,
p – długość boku dwóch jednakowych kwadratów w lewej kolumnie (na górze i na dole),
c – długość boku dużego kwadratu w prawym górnym rogu.
Trzy małe kwadraty stoją w rzędzie obok siebie i razem mają taką samą szerokość jak duży kwadrat leżący nad nimi, więc:
c=3s
Lewa kolumna to dwa jednakowe kwadraty o boku p ustawione jeden nad drugim, więc ich łączna wysokość jest równa wysokości b całego prostokąta. Ta sama wysokość po prawej stronie to suma boku dużego kwadratu i boku małego kwadratu:
b=2pb=c+s
Podstawiamy c=3s do drugiego równania i wyznaczamy p:
b=3s+s=4s2p=4sp=2s
Szerokość a całego prostokąta to szerokość lewej kolumny plus szerokość dużego kwadratu: