Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 39

4 pkt

Dany jest kwadrat

A B C D

o boku długości

a

. Punkt

E

jest środkiem boku

C D

. Przekątna

B D

dzieli trójkąt

A C E

na dwie figury:

A GF

oraz

C E F G

(zobacz rysunek).

Oblicz pola figur

A GF

oraz

C E F G

. Zapisz obliczenia.

P_{A GF} = \frac{1}{12} a^{2}

,

P_{C E F G} = \frac{1}{6} a^{2}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Punkty $G$ i $E$ są środkami boków $A C$ i $C D$ trójkąta $A C D$ , więc odcinek $GE$ jest równoległy do $A D$ i ma długość $\frac{1}{2} a$ . Trójkąty $D F A$ i $GF E$ mają równe kąty wierzchołkowe przy $F$ oraz równe kąty naprzemianległe przy $A$ i $E$ , więc są podobne (cecha kąt-kąt).

Zadanie 9 Trygonometria

4 pkt

Rozwiąż równanie

sin^{4} x = sin x \cdot cos x - cos^{4} x

w zbiorze

[- π, 2 π]

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 10 Trygonometria

5 pkt

Rozwiąż równanie

sin (4 x) - sin (2 x) = 4 cos^{2} x - 3

w zbiorze

[0, 2 π]

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 10 Geometria przestrzenna

4 pkt

Długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa

a

. Sinus kąta między przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z jednego wierzchołka graniastosłupa jest równy

\frac{11}{6}

.

Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 10 Funkcje

1 pkt

Funkcja

y = f (x)

jest określona za pomocą tabeli.

$x$	$- 6$	$- 4$	$- 2$	$0$	$2$	$4$	$6$
$y$	$- 3$	$- 4$	$4$	$1$	$5$	$0$	$2$

Miejsce zerowe funkcji

f

jest równe

Zadanie 10 Funkcje

4 pkt

Funkcja

f

jest określona następująco:

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 3 - x + 1 x - 3 dla x \in (- 4, - 2] dla x \in (- 2, 2] dla x \in (2, 4]

Wykres funkcji

y = f (x)

przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Dziedziną funkcji

f

jest przedział ___.
2. Zbiorem wartości funkcji

f

jest przedział ___.
3. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja

f

przyjmuje wartości ujemne, jest przedział ___.
4. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja

f

przyjmuje największą wartość, jest przedział ___.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 10 Procenty

1 pkt

W październiku 2022 roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie

1960

drzew. Po roku stwierdzono, że uschło

5%

drzew w pierwszym sadzie i

10%

drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano.

Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła

60%

liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie.

Niech

x

oraz

y

oznaczają liczby drzew posadzonych – odpowiednio – w pierwszym i drugim sadzie.

Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby

x

drzew posadzonych w pierwszym sadzie oraz liczby

y

drzew posadzonych w drugim sadzie, jest

Zadanie 10 Potęgi i pierwiastki

1 pkt

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Liczba

6 \frac{1}{4}

jest równa A/B.

Liczba

3 0, 064

jest równa C/D.

Zaznacz dwie odpowiedzi.

Zadanie 10 Trygonometria

1 pkt

Funkcja liniowa

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{3}{3} x - 3

.

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

wykres funkcji

y = f (x)

jest prostą nachyloną do osi

O x

pod kątem ostrym

α

.

Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe.

Sinus kąta

α

jest równy ___.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 10 Planimetria

1 pkt

Na rysunku przedstawiono proste

a

,

b

,

c

,

d

,

e

oraz zaznaczono miary niektórych kątów. Proste

a

,

b

,

c

są wzajemnie równoległe. Proste

d

i

e

są wzajemnie prostopadłe i przecinają się w punkcie

A

leżącym na prostej

b

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta

α

jest równa

Zadanie 10 Ciągi

5 pkt

Trzeci i piąty wyraz malejącego ciągu arytmetycznego

(a_{n})

, określonego dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

, spełniają warunek

a_{3} + a_{5} = 10

.

Trzywyrazowy ciąg

(2 a_{1} + 4, a_{4} - 1, - \frac{1}{8} a_{7})

jest geometryczny.

Oblicz wyrazy tego ciągu geometrycznego. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 10 Równania

3 pkt

Rozwiąż równanie

4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 3 = 0

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 10 Prawdopodobieństwo

3 pkt

Spośród wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, których wszystkie cyfry należą do zbioru

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

, losujemy jedną. Wylosowanie każdej z tych liczb jest jednakowo prawdopodobne.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy liczbę, która ma następującą własność: kolejne cyfry tej liczby (licząc od lewej strony) tworzą – w podanej kolejności – sześciowyrazowy ciąg malejący.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 10Inne

1 pkt

Podróż pociągiem z Olsztyna do Gdyni planowo trwa 2 godziny i 54 minuty. Pewnego dnia pociąg wyjechał z Olsztyna punktualnie o wyznaczonej godzinie, ale przyjechał do Gdyni z czterominutowym opóźnieniem o godzinie

17 : 31

. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Pociąg wyjechał z Olsztyna o godzinie

Zadanie 11 Funkcja liniowa

1 pkt

Pusta bańka na mleko o pojemności

10

litrów ma masę

6, 5

kg. Jeden litr mleka ma masę

1, 03

kg.

Niech

x

oznacza liczbę litrów mleka w tej bańce, a

g (x)

oznacza wyrażoną w kilogramach masę bańki wraz z mlekiem, gdzie

x \in ⟨ 0, 10 ⟩

.
Największa wartość funkcji

g

jest równa

Zbiór zadań

Wyniki