Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Pierwsza cyfra liczby czterocyfrowej nie może być zerem, a suma wszystkich cyfr to $3$, więc pierwsza cyfra to $1$, $2$ albo $3$. Rozważamy każdy z tych przypadków osobno.
2. Gdy pierwsza cyfra to $3$: pozostałe trzy cyfry muszą sumować się do $0$, więc jest to tylko liczba $3000$ — $1$ możliwość.
3. Gdy pierwsza cyfra to $2$: pozostałe trzy cyfry sumują się do $1$, czyli dokładnie jedna z nich to $1$, a pozostałe to $0$ — liczby $2100$, $2010$, $2001$, czyli $3$ możliwości.
4. Gdy pierwsza cyfra to $1$: pozostałe trzy cyfry sumują się do $2$ — możliwe trójki cyfr to $(2,0,0)$, $(0,2,0)$, $(0,0,2)$, $(1,1,0)$, $(1,0,1)$, $(0,1,1)$, czyli $6$ możliwości.
5. Łącznie liczba czterocyfrowych liczb spełniających warunek jest równa:
   $$1+3+6=10$$

1. Odczytuję miejsca zerowe funkcji kwadratowej z postaci iloczynowej: $x+3=0$ lub $x-2=0$.
   $$\begin{array}{rl}& x_1=-3\\ & x_2=2\end{array}$$
2. Współczynnik przy $x^2$ po rozwinięciu nawiasów jest ujemny (bo przed nawiasami stoi $-2$), więc ramiona paraboli są skierowane w dół. Szukam argumentów, dla których parabola leży powyżej osi $Ox$: to przedział między miejscami zerowymi.
3. Szkicuję parabolę i odczytuję zbiór rozwiązań nierówności.
   $$x\in (-3,2)$$

1. Zapisujemy $4^{12}=(2^2{)}^{12}=2^{24}$, więc:
   $$4^{12}\cdot 5^{24}=2^{24}\cdot 5^{24}=(2\cdot 5{)}^{24}=10^{24}$$
2. Liczba $10^{24}=2^{24}\cdot 5^{24}$ jest podzielna przez $20=2^2\cdot 5$, bo wynik ich dzielenia jest liczbą całkowitą:
3. Liczba $10^{24}$ w zapisie dziesiętnym to cyfra $1$ i $24$ zera, czyli ma $25$ cyfr.

1. Iloczyn jest równy zero, gdy jeden z czynników jest równy zero – wyznaczamy rozwiązania wynikające z dwóch znanych czynników.
   $$\begin{array}{rl}& x+3=0⟹x=-3\\ & 2x+4=0⟹x=-2\end{array}$$
2. Rozwiązaniami równania są liczby $-3$, $-2$ oraz $m$. Ich suma ma być równa $0$.
   $$-3+(-2)+m=0$$
3. Rozwiązujemy otrzymane równanie ze względu na $m$.
   $$\begin{array}{rl}& -5+m=0\\ & m=5\end{array}$$

1. Oznaczmy cenę jednej ładowarki przez $x$. Dysk USB jest $2$ razy tańszy od ładowarki, więc jego cena to $\frac{x}{2}$, a komplet słuchawek jest $4$ razy droższy od ładowarki, więc jego cena to $4x$.
2. Aleks kupił jeden komplet słuchawek, dwie ładowarki i dwa dyski USB — zapisujemy sumę kosztów:
   $$4x+2x+2\cdot \frac{x}{2}$$
3. Upraszczamy wyrażenie, redukując wyrazy podobne:
   $$4x+2x+x=7x$$

1. Obliczamy pierwiastki w liczniku:
   $$\sqrt{100}-\sqrt{36}=10-6=4$$
2. Obliczamy pierwiastek sześcienny w mianowniku:
   $$\sqrt[3]{-8}=-2$$
3. Dzielimy licznik przez mianownik:
   $$\frac{4}{-2}=-2$$

1. Licznik pierwszego ułamka to wzór skróconego mnożenia:
   $$x^2+20x+100=(x+10{)}^2$$
2. Podstawiamy i mnożymy ułamki:
   $$\frac{(x+10{)}^2}{x^3}\cdot \frac{x^2}{x+10}=\frac{(x+10{)}^2\cdot x^2}{x^3\cdot (x+10)}$$
3. Skracamy czynnik $(x+10)$ oraz $x^2$:
   $$\frac{(x+10{)}^2\cdot x^2}{x^3\cdot (x+10)}=\frac{x+10}{x}$$

1. Obliczamy iloczyn $V(x)\cdot H(x)$:
   $$V(x)\cdot H(x)=(x^3+1)(x-2)=x^4-2x^3+x-2$$
2. Odejmujemy od $W(x)$:
   $$W(x)-V(x)\cdot H(x)=x^4-(x^4-2x^3+x-2)$$
3. Upraszczamy:
   $$x^4-x^4+2x^3-x+2=2x^3-x+2$$