Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 4

2 pkt

Wykaż, że liczba

250 1^{4} - 249 9^{4}

jest podzielna przez

10000

.

250 1^{4} - 249 9^{4} = 10000 \cdot (250 1^{2} + 249 9^{2})

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Zapisujemy różnicę czwartych potęg jako różnicę kwadratów i korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ :
$250 1^{4} - 249 9^{4} = (250 1^{2})^{2} a^{2} - (249 9^{2})^{2} b^{2} = (250 1^{2} - 249 9^{2}) a - b \cdot (250 1^{2} + 249 9^{2}) a + b$

Zadanie 5 Potęgi i pierwiastki

1 pkt

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Liczba naturalna $4^{12} \cdot 5^{24}$ jest podzielna przez $20$ .
Liczba naturalna $4^{12} \cdot 5^{24}$ jest w zapisie dziesiętnym liczbą $25$ -cyfrową.

Zadanie 5 Procenty

1 pkt

W pewnej hodowli rasowy kocur kosztuje

x

złotych, a rasowa kotka kosztuje

y

złotych. Janek kupił z tej hodowli rasowego kocura ze zniżką

40%

oraz rasową kotkę ze zniżką

20%

.

Które wyrażenie poprawnie opisuje, ile złotych zapłacił Janek za te koty? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zadanie 5 Dowody podzielności

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej

n \geq 0

liczba

7^{n} + 7^{n + 1} + 7^{n + 2}

jest podzielna przez

19

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 5 Planimetria

3 pkt

Odcinek

C D

jest wysokością trójkąta równoramiennego

A B C

, w którym

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣

. Prosta

p

jest prostopadła do boku

B C

i przecina ten bok w punkcie

L

. Ta prosta przecina wysokość

C D

w punkcie

K

oraz przecina bok

A C

w punkcie różnym od

A

.

Wykaż, że

∣∠ C A K ∣ = ∣∠ K D L ∣

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 6 Ciągi

4 pkt

Dany jest ciąg arytmetyczny

(a_{n})

o skończonej liczbie wyrazów. Liczba wyrazów tego ciągu jest większa od

6

. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

1

, a ostatni wyraz tego ciągu jest równy

(- 2025)

. Drugi, trzeci i szósty wyraz tego ciągu tworzą – w podanej kolejności – ciąg geometryczny.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu

(a_{n})

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 6 Wyrażenia algebraiczne

1 pkt

Dane są wielomiany

W

,

V

oraz

H

określone wzorami:

W (x) = x^{4}

V (x) = x^{3} + 1

H (x) = x - 2

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wielomian

W (x) - V (x) \cdot H (x)

jest określony wzorem

Zadanie 6 Prawdopodobieństwo

4 pkt

Chleb sprzedawany w pewnym supermarkecie pochodzi z trzech piekarni:

P_{1}

,

P_{2}

,

P_{3}

. Stosunek liczby bochenków chleba dostarczonego przez piekarnie

P_{1}

,

P_{2}

oraz

P_{3}

do tego supermarketu jest – odpowiednio – równy

2 : 3 : 4

.

Liczba bochenków chleba razowego dostarczonego do tego supermarketu z piekarni:
–

P_{1}

stanowi

10%

liczby wszystkich bochenków chleba dostarczonego z tej piekarni,
–

P_{2}

stanowi

12%

liczby wszystkich bochenków chleba dostarczonego z tej piekarni,
–

P_{3}

stanowi

15%

liczby wszystkich bochenków chleba dostarczonego z tej piekarni.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że bochenek chleba losowo wybrany w tym supermarkecie pochodzi z piekarni

P_{1}

, jeśli wiadomo, że ten chleb jest razowy. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 6 Potęgi i pierwiastki

1 pkt

Dane jest wyrażenie arytmetyczne

\frac{100 - 36}{3 - 8}

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość podanego wyrażenia jest równa

Zadanie 6 Wyrażenia algebraiczne

1 pkt

Aleks kupił jeden komplet słuchawek bezprzewodowych, dwie jednakowe ładowarki i dwa jednakowe dyski USB. Jeden dysk USB był

2

razy tańszy od ładowarki, a komplet słuchawek bezprzewodowych był

4

razy droższy od jednej ładowarki.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Jeżeli przez

x

oznaczymy cenę jednej ładowarki, to wartość zakupów Aleksa opiszemy wyrażeniem

Zadanie 6 Wyrażenia algebraiczne

1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej

x

różnej od

(- 10)

oraz różnej od

0

wartość wyrażenia

\frac{x ^{2} + 20 x + 100}{x ^{3}} \cdot \frac{x ^{2}}{x + 10}

jest równa wartości wyrażenia

Zadanie 6 Liczby naturalne

1 pkt

W pudełku było jedenaście kul ponumerowanych kolejnymi liczbami naturalnymi od

1

do

11

. Z tego pudełka wylosowano pięć kul. Suma liczb na dowolnych dwóch kulach, które pozostały w pudełku, jest parzysta.

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Po losowaniu w pudełku zostały wyłącznie kule ponumerowane liczbami A/B.

Suma liczb na pięciu wylosowanych kulach jest równa C/D.

Zaznacz dwie odpowiedzi.

Zadanie 6 Wyrażenia algebraiczne

1 pkt

Wartość wyrażenia

x^{2} + 10 x + 25

dla

x = 2 - 5

jest równa

Zadanie 7 Trygonometria

4 pkt

Rozwiąż równanie

sin (6 x) - 2 sin (2 x) = 0

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 7 Wyrażenia algebraiczne

1 pkt

Trzy kolejne liczby naturalne można zapisać w postaci:

n, (n + 1), (n + 2)

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma każdych trzech kolejnych liczb naturalnych jest liczbą podzielną przez

Zbiór zadań

Wyniki