Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 5

4 pkt

Nieskończony ciąg geometryczny

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

14

. Suma sześcianów wszystkich wyrazów ciągu

(a_{n})

jest równa

392

.

Wyznacz wzór ogólny na

n

-ty wyraz ciągu

(a_{n})

. Zapisz obliczenia.

a_{n} = 7 \cdot (\frac{1}{2})^{n - 1}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Oznaczamy przez $q$ iloraz ciągu. Suma wszystkich wyrazów istnieje, więc $∣ q ∣ < 1$ i korzystamy ze wzoru na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego.
$S = \frac{a _{1}}{1 - q} \frac{a _{1}}{1 - q} = 14, ∣ q ∣ < 1$

Zadanie 7 Wyrażenia algebraiczne

1 pkt

Trzy kolejne liczby naturalne można zapisać w postaci:

n, (n + 1), (n + 2)

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma każdych trzech kolejnych liczb naturalnych jest liczbą podzielną przez

Zadanie 7 Trygonometria

4 pkt

Rozwiąż równanie

sin (6 x) - 2 sin (2 x) = 0

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 7 Równania

1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie

2 x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2 x + 3) = 0

w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

Zadanie 7 Potęgi i pierwiastki

1 pkt

Dane są trzy liczby:

x = 5, 27 \cdot 1 0^{- 3}

,

y = 0, 0023

,

z = 1400 \cdot 1 0^{- 5}

.
Uporządkowano te liczby w kolejności od najmniejszej do największej.

Który zapis przedstawia poprawny sposób uporządkowania liczb

x

,

y

,

z

?

Zadanie 7 Dowody podzielności

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej

n

liczba

7 n^{2} + 21 n

jest podzielna przez

14

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 7 Funkcje

1 pkt

Na rysunku, w układzie współrzędnych

(x, y)

, przedstawiono wykres funkcji

f

.

Funkcja

f

ma dokładnie

Zadanie 8 Wyrażenia algebraiczne

1 pkt

Sumę

S = 1 + 2 + 3 + \dots + n

kolejnych liczb naturalnych od

1

do

n

można obliczyć ze wzoru

S = \frac{1}{2} n (n + 1)

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Suma stu kolejnych liczb naturalnych od

1

do

100

jest równa A/B.

Wzór na sumę

S

po poprawnym przekształceniu ma postać C/D.

Zaznacz dwie odpowiedzi.

Zadanie 8 Równania

3 pkt

Dane jest równanie

\frac{3 x + 4}{x - 1} = \frac{x + 3}{3 x}

gdzie

x \neq = 0

i

x \neq = 1

.

Wyznacz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału

(- \infty, - \frac{2}{3})

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 8 Funkcje

1 pkt

Na rysunku, w układzie współrzędnych

(x, y)

, przedstawiono wykres funkcji

f

.

Wskaż zdanie prawdziwe.

Zadanie 8 Prawdopodobieństwo

1 pkt

Poniżej przedstawiono kalendarz na kwiecień w pewnym roku.

Poniedziałek	Wtorek	Środa	Czwartek	Piątek	Sobota	Niedziela
1	2	3	4	5	6	7
8	9	10	11	12	13	14
15	16	17	18	19	20	21
22	23	24	25	26	27	28
29	30

Wybieramy losowo jeden dzień tego miesiąca.

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Prawdopodobieństwo, że wybrany dzień tego miesiąca to wtorek, jest równe A/B.

Prawdopodobieństwo, że numer wybranego dnia tego miesiąca będzie liczbą podzielną przez C/D, jest równe

\frac{2}{15}

.

Zaznacz dwie odpowiedzi.

Zadanie 8 Ciągi

4 pkt

Trzywyrazowy ciąg

(x, y, z)

jest geometryczny. Jeżeli w tym ciągu pomniejszymy trzeci wyraz o

4

, a pozostałe wyrazy pozostawimy bez zmian, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Jeżeli drugi i trzeci wyraz tak otrzymanego ciągu arytmetycznego pomniejszymy o

1

, to otrzymamy nowy ciąg geometryczny.

Oblicz

x, y

oraz

z

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 8 Liczby naturalne

1 pkt

Na osi liczbowej zaznaczono punkty

K

,

L

i

M

. Odcinek

K M

jest podzielony na

10

równych części (zobacz rysunek).

Z liczb, które są współrzędnymi punktów

K

,

L

i

M

, utworzono sumy:
I.

K + L + M

II.

K + L

III.

K + M

IV.

L + M

Która z utworzonych sum jest liczbą podzielną przez

9

?

Zadanie 8 Funkcje

1 pkt

Na rysunku, w układzie współrzędnych

(x, y)

, przedstawiono wykres funkcji

f

.

Funkcja

f

osiąga największą wartość dla argumentu

Zadanie 8 Geometria przestrzenna

4 pkt

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym

A B C S

podstawa

A B C

jest trójkątem równobocznym. Długość okręgu opisanego na podstawie

A B C

jest równa

62 π

, a cosinus kąta między krawędziami bocznymi

S B

i

S C

jest równy

\frac{5}{9}

.

Oblicz długość krawędzi podstawy

A B C

oraz cosinus kąta między ścianami bocznymi

S A C

i

S B C

tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zbiór zadań

Wyniki