Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Wszystkich drzew jest łącznie $198$, więc suma liczby drzew iglastych i liściastych daje pierwsze równanie.
   $$x+y=198$$
2. Gdyby drzew iglastych było o $18$ więcej, byłoby ich $x+18$. Wtedy drzew liściastych ($y$) byłoby $3$ razy więcej niż tak zwiększonej liczby drzew iglastych.
   $$y=3(x+18)$$
3. Oba równania tworzą układ opisujący sytuację z zadania.
   $$\begin{array}{rl}& x+y=198\\ & 3(x+18)=y\end{array}$$

1. Iloczyn jest równy zero, gdy jeden z czynników jest równy zero – wyznaczamy rozwiązania wynikające z dwóch znanych czynników.
   $$\begin{array}{rl}& x+3=0⟹x=-3\\ & 2x+4=0⟹x=-2\end{array}$$
2. Rozwiązaniami równania są liczby $-3$, $-2$ oraz $m$. Ich suma ma być równa $0$.
   $$-3+(-2)+m=0$$
3. Rozwiązujemy otrzymane równanie ze względu na $m$.
   $$\begin{array}{rl}& -5+m=0\\ & m=5\end{array}$$

Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.

1. Licznik pierwszego ułamka to wzór skróconego mnożenia:
   $$x^2+20x+100=(x+10{)}^2$$
2. Podstawiamy i mnożymy ułamki:
   $$\frac{(x+10{)}^2}{x^3}\cdot \frac{x^2}{x+10}=\frac{(x+10{)}^2\cdot x^2}{x^3\cdot (x+10)}$$
3. Skracamy czynnik $(x+10)$ oraz $x^2$:
   $$\frac{(x+10{)}^2\cdot x^2}{x^3\cdot (x+10)}=\frac{x+10}{x}$$

1. Iloczyn jest równy zero, gdy którykolwiek z czynników jest równy zero. Z czynnika $2x=0$ otrzymujemy:
   $$x=0$$
2. Z czynnika $x^2-3=0$ otrzymujemy:
   $$x^2=3⟹x=-\sqrt{3}\text{lub}x=\sqrt{3}$$
3. Ostatni czynnik to równanie kwadratowe $x^2+2x+3$:
   $$\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot 3=-8<0$$
4. Ujemny delta oznacza brak rozwiązań rzeczywistych. Więc łącznie równanie ma trzy rozwiązania rzeczywiste: $x=0$, $x=-\sqrt{3}$, $x=\sqrt{3}$.

1. Zapisujemy liczby $x$ i $z$ w postaci dziesiętnej (przesuwamy przecinek o tyle miejsc, ile wskazuje wykładnik potęgi):
   $$x=5,27\cdot 10^{-3}=0,00527,z=1400\cdot 10^{-5}=0,014$$
2. Liczba $y=0,0023$ jest już zapisana w postaci dziesiętnej. Porównujemy wszystkie trzy liczby, patrząc kolejno na cyfry po przecinku:
   $$0,0023<0,00527<0,014$$
3. Zatem najmniejsza jest liczba $y$, potem $x$, a największa jest $z$:
   $$y<x<z$$

1. Skoro w każdym z $10$ koszy jest tyle samo owoców, a łącznie jest ich $400$, to w jednym koszu jest:
   $$T=\frac{400}{10}=40$$
2. Niech $p$ oznacza liczbę pomarańczy w jednym koszu. Wtedy liczba jabłek w tym koszu to $p+6$. Razem w jednym koszu jest $40$ owoców, więc układamy równanie:
   $$p+(p+6)=40$$
3. Rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& 2p+6=40\\ & 2p=34\\ & p=17\end{array}$$
4. Liczba jabłek w jednym koszu to $p+6=17+6=23$. Łącznie w $10$ koszach jest:
   $$23\cdot 10=230$$

1. Dzielimy obie strony nierówności przez $(-2)$, pamiętając o zmianie znaku nierówności na przeciwny:
   $$\begin{array}{rl}-2(x+3)(x-2)& >0/:(-2)\\ (x+3)(x-2)& <0\end{array}$$
2. Miejsca zerowe wyrażenia to $x=-3$ oraz $x=2$. Współczynnik przy $x^2$ w iloczynie $(x+3)(x-2)$ jest dodatni, więc odpowiadająca mu parabola ma ramiona skierowane w górę - szukamy na rysunku zbioru $x$, dla których wykres jest pod osią $Ox$, czyli przedziału między miejscami zerowymi
   

1. Mnożymy równanie na krzyż (zakładając, że $3x-1\ne 0$).
   $$5(x+2)=2(3x-1)$$
2. Wymnażamy nawiasy po obu stronach.
   $$5x+10=6x-2$$
3. Przenosimy wyrazy z $x$ na jedną stronę, a liczby na drugą.
   $$\begin{array}{rl}& 10+2=6x-5x\\ & 12=x\end{array}$$

1. Miejsce zerowe to argument, dla którego wykres funkcji przecina oś $x$ (wartość funkcji wynosi $0$). Odczytujemy z wykresu punkty przecięcia z osią $x$:
   $$x=-3,5x=-2x=3$$
2. Wykres przecina oś $x$ w trzech punktach, więc funkcja $f$ ma dokładnie trzy miejsca zerowe.

1. Zapisujemy sumę trzech kolejnych liczb naturalnych i upraszczamy wyrażenie:
   $$n+(n+1)+(n+2)=3n+3$$
2. Wyłączamy $3$ przed nawias:
   $$3n+3=3(n+1)$$
3. Ponieważ $n$ jest liczbą naturalną, to $(n+1)$ też jest liczbą naturalną, więc suma $3(n+1)$ jest zawsze podzielna przez $3$ (odpowiedź B).