Suma wszystkich pierwiastków wielomianu W(x) = x³ + 5x² - 7x - 11 jest równa

Zadanie 1, matura rozszerzona maj 2025 (F. 2015)

1 pkt

Suma wszystkich pierwiastków wielomianu

W (x) = x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 11

jest równa

Poprawna odpowiedź

(- 5)

Sprawdzamy, czy wielomian ma pierwiastek całkowity. Kandydatami są dzielniki wyrazu wolnego $- 11$ . Dla $x = - 1$ dostajemy zero, więc $- 1$ jest pierwiastkiem.
$W (- 1) = - 1 + 5 + 7 - 11 = 0$
Dzielimy wielomian przez $(x + 1)$ i zapisujemy go w postaci iloczynowej.
$W (x) = (x + 1) (x^{2} + 4 x - 11)$
Trójmian $x^{2} + 4 x - 11$ ma dodatnią deltę, więc ma dwa pierwiastki rzeczywiste.
$Δ = 16 + 44 = 60 > 0$
Z wzorów Viète'a suma pierwiastków trójmianu to $- 4$ . Dodajemy pierwiastek $- 1$ .
$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - 1 + (- 4) = - 5$