Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Ponieważ $k\parallel l$, kąty naprzemianległe przy przecięciu prostymi $m$ i $n$ są równe, więc trójkąty $OAD$ i $OCB$ są podobne (cecha kąt-kąt).
2. Z podobieństwa trójkątów odpowiednie boki są proporcjonalne:
   $$\frac{|OA|}{|OC|}=\frac{|OD|}{|OB|}$$
3. Podstawiamy dane:
   $$\frac{12}{8}=\frac{|OD|}{6}⟹|OD|=\frac{12\cdot 6}{8}=9$$

1. Punkty $A$ i $D$ leżą na prostej $k$, a punkty $C$ i $B$ na prostej $l$, przy czym $k\parallel l$. Trójkąty $AOD$ i $COB$ mają równe kąty przy wierzchołku $O$ (kąty wierzchołkowe) oraz równe kąty przy pozostałych wierzchołkach (kąty naprzemianległe przy prostych równoległych $k$ i $l$), więc są podobne.
2. Z podobieństwa trójkątów odpowiednie boki są proporcjonalne.
   $$\frac{OA}{OC}=\frac{OD}{OB}$$
3. Podstawiamy dane długości i wyznaczamy $|OD|$.
   $$\begin{array}{rl}& \frac{12}{8}=\frac{OD}{6}\\ & OD=\frac{12\cdot 6}{8}=9\end{array}$$

1. Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty liczymy jako iloraz różnicy współrzędnych $y$ i różnicy współrzędnych $x$.
   $$\begin{array}{rl}& a=\frac{y_B-(-4)}{2-(-1)}\\ & 3=\frac{y_B+4}{3}\end{array}$$
2. Rozwiązujemy równanie względem $y_B$.
   $$\begin{array}{rl}& 9=y_B+4\\ & y_B=5\end{array}$$

1. Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy, więc prosta $l$ ma postać $y=-\frac{1}{3}x+b$, gdzie $b$ trzeba wyznaczyć.
   $$y=-\frac{1}{3}x+b$$
2. Podstawiamy współrzędne punktu $(2,-2)$, przez który przechodzi prosta $l$, i wyznaczamy $b$.
   $$\begin{array}{rl}& -2=-\frac{1}{3}\cdot 2+b\\ & -2=-\frac{2}{3}+b\\ & b=-2+\frac{2}{3}=-\frac{4}{3}\end{array}$$
3. Punkt przecięcia prostej z osią $Oy$ ma pierwszą współrzędną równą $0$, a jego druga współrzędna to właśnie wyraz wolny $b$.
   $$\left(0,-\frac{4}{3}\right)$$

1. Korzystamy z tożsamości ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$:
   $${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$$
2. Ponieważ $\alpha$ jest rozwarty (kąt z przedziału $(90°,180°)$), $\cos \alpha <0$:
   $$\cos \alpha =-\frac{4}{5}$$

1. Środek okręgu opisanego na trójkącie równobocznym to punkt przecięcia wysokości, który dzieli każdą wysokość w stosunku $2:1$ licząc od wierzchołka. Stąd promień okręgu opisanego wyraża się wzorem $R=\frac{2}{3}h$, gdzie $h$ to wysokość trójkąta.
   
   
2. Podstawiamy $R=9\sqrt{3}$ i wyznaczamy $h$:
   $$9\sqrt{3}=\frac{2}{3}h⟹h=\frac{3}{2}\cdot 9\sqrt{3}=\frac{27\sqrt{3}}{2}$$
3. Wysokość trójkąta równobocznego o boku $a$ wyraża się wzorem $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Podstawiamy i wyznaczamy $a$:

1. Odcinki łączące środek koła z wierzchołkami sześciokąta dzielą go na $6$ przystających trójkątów równobocznych, więc bok sześciokąta jest równy promieniowi koła: $a=r=1$.
   
   
2. Obliczamy pole jednego takiego trójkąta równobocznego o boku $a=1$:
   $$P_{△}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}$$
3. Pole sześciokąta to $6$ takich trójkątów:
   $$P_6=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$
4. Obliczamy pole koła o promieniu $r=1$:
   $$P_{koła}=\pi r^2=\pi$$
5. Pole zacieniowanej figury to różnica pola koła i pola sześciokąta:
   $$P=\pi -\frac{3\sqrt{3}}{2}$$