Zbiór zadań

Znaleziono 757 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy, więc $a=-\frac{1}{3}$.
2. Podstawiamy współrzędne punktu $P=(3,5)$ do równania $y=ax+b$, aby wyznaczyć $b$:
   $$\begin{array}{rl}& 5=-\frac{1}{3}\cdot 3+b\\ & 5=-1+b\\ & b=6\end{array}$$
3. Zatem $a=-\frac{1}{3}$ i $b=6$ (odpowiedź D).

1. Proste równoległe mają taki sam współczynnik kierunkowy, więc szukana prosta ma postać:
   $$y=\frac{3}{4}x+b$$
2. Podstawiamy współrzędne punktu $P=(12,-1)$ i wyznaczamy $b$:
   $$\begin{array}{rl}& -1=\frac{3}{4}\cdot 12+b\\ & -1=9+b\\ & b=-10\end{array}$$
3. Zatem szukana prosta ma równanie:
   $$y=\frac{3}{4}x-10$$

1. Kąty $ABC$ i $BAD$ leżą przy tym samym ramieniu $AB$ między bokami równoległymi $AD$ i $BC$, więc sumują się do $180°$:
   $$\angle BAD=180°-135°=45°$$
2. Pole równoległoboku liczymy ze wzoru z sinusem kąta zawartego między bokami $AB$ i $AD$:
   $$P=|AB|\cdot |AD|\cdot \sin (\angle BAD)$$
3. Podstawiamy dane i wyznaczamy $|AB|$:
   $$\begin{array}{rl}& 40\sqrt{6}=|AB|\cdot 10\cdot \sin 45°\\ & 40\sqrt{6}=|AB|\cdot 10\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\\ & 40\sqrt{6}=5\sqrt{2}\cdot |AB|\\ & |AB|=\frac{40\sqrt{6}}{5\sqrt{2}}\\ & |AB|=8\sqrt{3}\end{array}$$

1. Podstawą graniastosłupa jest kwadrat o boku $15$, więc obliczamy długość przekątnej podstawy:
   $$e=15\sqrt{2}$$
2. Kąt $\alpha$ jest kątem między przekątną graniastosłupa $d$ a jej rzutem na podstawę, czyli przekątną podstawy $e$, więc $\cos \alpha =\frac{e}{d}$. Wyznaczamy $d$:
   $$\begin{array}{rl}& \cos \alpha =\frac{e}{d}\\ & d=\frac{e}{\cos \alpha }=\frac{15\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{3}}=15\sqrt{2}\cdot \frac{3}{\sqrt{2}}\end{array}$$
3. Skracamy $\sqrt{2}$ i obliczamy wynik:
   $$d=15\bcancel{\sqrt{2}}\cdot \frac{3}{\bcancel{\sqrt{2}}}=45$$

1. Sześcian ma trzy pary równoległych ścian: górną i dolną, przednią i tylną oraz lewą i prawą. Dla dowolnego punktu $P$ leżącego wewnątrz sześcianu suma odległości od dwóch równoległych ścian jest zawsze równa długości krawędzi sześcianu, bo te ściany są odległe od siebie dokładnie o $5$.
2. Ponieważ takich par ścian są trzy, sumujemy trzy takie sumy odległości:
   $$3\cdot 5=15$$

1. Okrąg o środku $S=(a,b)$ i promieniu $r$ ma równanie:
   $$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$$
2. Podstawiamy $S=(-1,2)$ oraz $r=3$:
   $$(x-(-1){)}^2+(y-2{)}^2=3^2⟹(x+1{)}^2+(y-2{)}^2=9$$

1. Współczynnik kierunkowy funkcji $f$ to $-1$. Prosta prostopadła do niej ma współczynnik kierunkowy będący liczbą przeciwną i odwrotną:
   $$a_g=-\frac{1}{a_f}=-\frac{1}{-1}=1$$
2. Funkcja $g$ ma więc wzór $g(x)=x+b$. Podstawiamy współrzędne punktu $P=(0,-1)$, aby wyznaczyć $b$:
   $$\begin{array}{rl}& -1=1\cdot 0+b\\ & b=-1\end{array}$$
3. Wzorem funkcji $g$ jest zatem:
   $$g(x)=x-1$$

1. Sprawdzamy, czy któreś dwie z podanych prostych są prostopadłe. Dwie proste są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy $-1$. Współczynniki kierunkowe podanych prostych to kolejno $\sqrt{3}$, $-\sqrt{3}$ oraz $-\frac{1}{\sqrt{3}}$.
2. Sprawdzamy iloczyn współczynników kierunkowych pierwszej i trzeciej prostej:
   $$\sqrt{3}\cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-1$$
3. Iloczyn jest równy $-1$, więc pierwsza i trzecia prosta są prostopadłe. W ich punkcie przecięcia (jednym z wierzchołków trójkąta $KLM$) powstaje więc kąt prosty, czyli trójkąt $KLM$ jest prostokątny. Poprawna odpowiedź to B oraz uzasadnienie 2.