Dowody podzielności

Dowody podzielności i reszt z dzielenia. Wyrażenie zapisujesz jako iloczyn albo jako wielokrotność dzielnika, a liczby parzyste, nieparzyste i dające daną resztę oznaczasz ogólnie.

Ten dział to średnio 0,8 zadania i 1,6 pkt na arkuszu.

Zadanie 3 Dowody podzielności

2 pkt

Wykaż, że liczba

2^{100} + 4^{49} + 1 6^{24}

jest podzielna przez

21

2^{100} + 4^{49} + 1 6^{24} = 2^{96} \cdot 21

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Sprowadzamy składniki do podstawy $2$ , bo $4 = 2^{2}$ i $16 = 2^{4}$ . Potęgę potęgi zamieniamy na jedną potęgę, mnożąc wykładniki.
$2^{100} + 4^{49} + 1 6^{24} = 2^{100} + (2^{2})^{49} + (2^{4})^{24} = 2^{100} + 2^{98} + 2^{96}$
2
Wyłączamy przed nawias najmniejszą potęgę $2^{96}$ .
$2^{100} + 2^{98} + 2^{96} = 2^{96} (2^{4} + 2^{2} + 1) = 2^{96} (16 + 4 + 1) = 2^{96} \cdot 21$
3
Liczba $2^{96}$ jest całkowita, więc liczba $2^{96} \cdot 21$ , czyli $2^{100} + 4^{49} + 1 6^{24}$ , jest podzielna przez $21$ .

Lista zadań

Otwórz w zbiorze zadań

Co trzeba umieć przed maturą

Zapis liczby parzystej, nieparzystej i dającej resztę $r$ z dzielenia przez $k$
Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias
Iloczyn kolejnych liczb całkowitych i jego dzielniki
Podzielność sum i różnic potęg
Wyznaczanie reszty z dzielenia wyrażenia algebraicznego

Najczęstsze pytania

Przekształcasz je do postaci, w której dzielnik stoi jako czynnik, np. 5n² + 15n = 5n(n + 3). Potem uzasadniasz, że pozostała część dostarcza brakujący czynnik, na przykład że jedna z dwóch kolejnych liczb jest parzysta.

Jako 5k + 1, gdzie k jest liczbą całkowitą. Na takim zapisie prowadzisz cały dowód, bo obejmuje on wszystkie liczby z tą resztą naraz.

Losuj zadanieSprawdź się i wylosuj zadanie z działu dowody podzielności.Zbiór zadańWszystkie zadania z tego działu, z filtrami poziomu i trudności.Wygeneruj zestawZbuduj własny zestaw z tego działu i rozwiąż go z pomiarem czasu.Wszystkie działyWróć do spisu działów i wybierz kolejny materiał do powtórki.

Występowanie na egzaminach

Lista zadań

Lista zadań

Co trzeba umieć przed maturą

Najczęstsze pytania