Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 26

2 pkt

Oblicz współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji

f (x) = \frac{x ^{2}}{x - 1}

, określonej dla każdej liczby rzeczywistej

x \neq = 1

, poprowadzonej w punkcie

A = (6, \frac{36}{5})

tego wykresu.
W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i dwie cyfry po przecinku skończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

0, 9, 6

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Współczynnik kierunkowy stycznej dla argumentu $6$ jest równy wartości pochodnej $f^{'} (6)$ . Liczymy pochodną ze wzoru na pochodną ilorazu.
$f^{'} (x) = \frac{2 x ( x - 1 ) - x ^{2} \cdot 1}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} - 2 x}{( x - 1 ) ^{2}}, x \neq = 1$

Zadanie 6 Pochodne

3 pkt

Styczna do paraboli o równaniu

y = 3 x^{2} - 1

w punkcie

P = (x_{0}, y_{0})

jest nachylona do osi

O x

pod kątem

30°

. Oblicz współrzędne punktu

P

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 6 Dowody geometryczne

3 pkt

W trójkącie

A B C

kąt

B A C

jest dwa razy większy od kąta

A B C

. Wykaż, że prawdziwa jest równość

∣ B C ∣^{2} - ∣ A C ∣^{2} = ∣ A B ∣ \cdot ∣ A C ∣

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 7 Dowody algebraiczne

3 pkt

Udowodnij, że dla dowolnego kąta

α \in (0, \frac{π}{2})

prawdziwa jest nierówność

sin (\frac{π}{12} - α) \cdot cos (\frac{π}{12} + α) < \frac{1}{4}

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 7 Trygonometria

4 pkt

Rozwiąż równanie

2 cos^{2} x + 3 sin x = 0

w przedziale

⟨ - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2} ⟩

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 7 Dowody geometryczne

3 pkt

Trójkąt

A B C

jest ostrokątny oraz

∣ A C ∣ > ∣ B C ∣

. Dwusieczna

d_{C}

kąta

A C B

przecina bok

A B

w punkcie

K

. Punkt

L

jest obrazem punktu

K

w symetrii osiowej względem dwusiecznej

d_{A}

kąta

B A C

, punkt

M

jest obrazem punktu

L

w symetrii osiowej względem dwusiecznej

d_{C}

kąta

A C B

, a punkt

N

jest obrazem punktu

M

w symetrii osiowej względem dwusiecznej

d_{B}

kąta

A B C

(zobacz rysunek).

Udowodnij, że na czworokącie

K N M L

można opisać okrąg.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 8 Równania

5 pkt

Liczba

\frac{2}{5}

jest pierwiastkiem wielomianu

W (x) = 5 x^{3} - 7 x^{2} - 3 x + p

. Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu i rozwiąż nierówność

W (x) > 0

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 8 Dowody podzielności

3 pkt

Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej

k

i dla każdej liczby całkowitej

m

liczba

k^{3} m - k m^{3}

jest podzielna przez

6

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 8 Dowody algebraiczne

3 pkt

Wykaż, że równanie

x^{8} + x^{2} = 2 (x^{4} + x - 1)

ma tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste

x = 1

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 9 Prawdopodobieństwo

4 pkt

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych ośmiocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry ze zbioru

{0, 1, 3, 5, 7, 9}

, losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma cyfr wylosowanej liczby jest równa 3.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 9 Kombinatoryka

4 pkt

Z liczb ośmioelementowego zbioru

Z = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9}

tworzymy ośmiowyrazowy ciąg, którego wyrazy się nie powtarzają. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że żadne dwie liczby parzyste nie są sąsiednimi wyrazami utworzonego ciągu. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 10 Geometria przestrzenna

4 pkt

Objętość stożka ściętego (przedstawionego na rysunku) można obliczyć ze wzoru

V = \frac{1}{3} π H (r^{2} + r R + R^{2})

, gdzie

r

i

R

są promieniami podstaw (

r < R

), a

H

jest wysokością bryły. Dany jest stożek ścięty, którego wysokość jest równa

10

, objętość

840 π

, a

r = 6

. Oblicz cosinus kąta nachylenia przekątnej przekroju osiowego tej bryły do jednej z jej podstaw.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 10 Ciągi

4 pkt

Dany jest rosnący ciąg geometryczny

(a, a q, a q^{2})

, którego wszystkie wyrazy i iloraz są liczbami całkowitymi nieparzystymi. Jeśli największy wyraz ciągu zmniejszymy o 4, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Oblicz wyraz

a q

tego ciągu.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 11 Geometria przestrzenna

5 pkt

Przekrój ostrosłupa prawidłowego trójkątnego

A B C S

płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek

S

i wysokości dwóch ścian bocznych jest trójkątem równobocznym. Krawędź boczna tego ostrosłupa ma długość

\frac{4 3}{3}

. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 11 Ciągi

4 pkt

Dany jest nieskończony ciąg okręgów

(o_{n})

o równaniach

x^{2} + y^{2} = 2^{11 - n}

,

n \geq 1

. Niech

P_{k}

będzie pierścieniem ograniczonym zewnętrznym okręgiem

o_{2 k - 1}

i wewnętrznym okręgiem

o_{2 k}

. Oblicz sumę pól wszystkich pierścieni

P_{k}

, gdzie

k \geq 1

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zbiór zadań

Wyniki