Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 80

2 pkt

Rozwiąż równanie

(x^{2} - 16) (x^{3} - 1) = 0

.

x = - 4

,

x = 1

,

x = 4

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Iloczyn jest równy $0$ , jeśli przynajmniej jeden z czynników jest równy $0$ .
$x^{2} - 16 = 0 lub x^{3} - 1 = 0$

Zadanie 26 Równania

2 pkt

Rozwiąż równanie

x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45 = 0

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 26 Nierówności

2 pkt

Rozwiąż nierówność

x (7 x + 2) > 7 x + 2

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 26 Równania

2 pkt

Rozwiąż równanie

(x^{3} - 8) (x^{2} - 4 x - 5) = 0

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 27 Równania

2 pkt

Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste

x

, które spełniają warunek:

\frac{3 x ^{2} - 8 x - 3}{x - 3} = x - 3

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 27 Nierówności

2 pkt

Rozwiąż nierówność

2 x^{2} - 5 x + 3 \leq 0

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 27 Nierówności

2 pkt

Rozwiąż nierówność

3 x^{2} - 16 x + 16 > 0

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 28 Dowody algebraiczne

2 pkt

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych

a

i

b

prawdziwa jest nierówność

3 a^{2} - 2 ab + 3 b^{2} \geq 0

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 28 Dowody algebraiczne

2 pkt

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych

a

i

b

prawdziwa jest nierówność

3 a^{2} - 2 ab + 3 b^{2} \geq 0

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 28 Planimetria

2 pkt

Dany jest trójkąt

A B C

. Punkt

S

jest środkiem boku

A B

tego trójkąta (zobacz rysunek). Wykaż, że odległości punktów

A

i

B

od prostej

C S

są równe.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 28 Nierówności

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej

x

prawdziwa jest nierówność

x + \frac{1 - x}{x} \geq 1

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 29 Planimetria

2 pkt

Dany jest okrąg o środku w punkcie

S

i promieniu

r

. Na przedłużeniu cięciwy

A B

poza punkt

B

odłożono odcinek

B C

równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty

C

i

S

poprowadzono prostą. Prosta

C S

przecina dany okrąg w punktach

D

i

E

(zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta

A C S

jest równa

α

, to miara kąta

A S D

jest równa

3 α

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 29 Planimetria

2 pkt

Dany jest okrąg o środku w punkcie

S

i promieniu

r

. Na przedłużeniu cięciwy

A B

poza punkt

B

odłożono odcinek

B C

równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty

C

i

S

poprowadzono prostą. Prosta

C S

przecina dany okrąg w punktach

D

i

E

(zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta

A C S

jest równa

α

, to miara kąta

A S D

jest równa

3 α

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 29 Dowody algebraiczne

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby

a > 0

i dla każdej liczby

b > 0

prawdziwa jest nierówność

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a + b}

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 29 Planimetria

2 pkt

Wierzchołki

A

i

C

trójkąta

A B C

leżą na okręgu o promieniu

r

, a środek

S

tego okręgu leży na boku

A B

trójkąta (zobacz rysunek). Prosta

B C

jest styczna do tego okręgu w punkcie

C

, a ponadto

∣ A C ∣ = r 3

. Wykaż, że kąt

A C B

ma miarę

120°

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zbiór zadań

Wyniki