Zadanie 28, matura podstawowa sierpień 2019

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej

x

prawdziwa jest nierówność

x + \frac{1 - x}{x} \geq 1

Poprawna odpowiedź

Nierówność jest prawdziwa, bo

(x - 1)^{2} \geq 0

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Skoro $x > 0$ , możemy pomnożyć nierówność obustronnie przez $x$ i znak nierówności się nie zmieni.
$x + \frac{1 - x}{x} \geq 1 ∣ \cdot x x^{2} + 1 - x \geq x$
Przenosimy wszystko na lewą stronę.
$x^{2} - 2 x + 1 \geq 0 (x - 1)^{2} \geq 0$
Kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny, więc ostatnia nierówność jest prawdziwa. Przekształcenia były równoważne, zatem wyjściowa nierówność też jest prawdziwa dla każdego $x > 0$ . To kończy dowód.

Podobne zadania z działu nierówności