Zadanie 17, matura podstawowa maj 2018 (F. 2005)

1 pkt

Dany jest trapez prostokątny

K L M N

, którego podstawy mają długości

∣ K L ∣ = a

∣ M N ∣ = b

a > b

. Kąt

K L M

ma miarę

60°

. Długość ramienia

L M

tego trapezu jest równa

2 (a - b)

Prowadzimy z wierzchołka $M$ wysokość na podstawę $K L$ . Niech $H$ będzie jej spodkiem. Powstaje trójkąt prostokątny $H L M$ z kątem $60°$ przy wierzchołku $L$ .
Czworokąt $K H M N$ jest prostokątem, więc $∣ K H ∣ = b$ . Stąd długość przyprostokątnej $H L$ :
$∣ H L ∣ = a - b$
W trójkącie $H L M$ przyprostokątna $H L$ leży przy kącie $60°$ , a szukane ramię $L M$ jest przeciwprostokątną. Zapisujemy cosinus kąta $60°$ i wyznaczamy $∣ L M ∣$ .
$cos 60° = \frac{1}{2} cos 60° = \frac{∣ H L ∣}{∣ L M ∣} \frac{1}{2} = \frac{a - b}{∣ L M ∣} ∣ L M ∣ = 2 (a - b)$

Podobne zadania z działu planimetria